Opgaver – Henriksen

En opgavebank over forskellige emner.

LIGNINGER

Andengradsligningen

Vis, at den generelle formel reduceres til $\small x=0 \vee x=-\frac{b}{a}$, når c = 0.

Vis, at den generelle formel reduceres til $\small x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$, når b = 0

SIMPLE FUNKTIONER

Andengradspolynomium

Parablens toppunkt

Forskriften for et andengradspolynomium er

$\small f(x)=3\cdot (x-2)^2+1$

Bestem koordinaterne til toppunktet.
Vis, at forskriften kan omskrives til

$\small 3x^2-12x+13$

Du skal bestemme koordinaterne til toppunktet af følgende parabler:

$\small f(x)=x^2-4$
$\small f(x)=(x-4)^2$
$\small f(x)=(x-4)^2-2$
$\small f(x)=x^2+8$
$\small f(x)=(x+8)^2$
$\small f(x)=(x+8)^2+1$

Bestem forskriften for det andengradspolynomium som har toppunkt i (2,3) og samtidig går gennem punktet med koordinaterne (-3,7).

DIFFERENTIALREGNING

Regneregler

Du skal bruge regneregler til at differentiere følgende funktioner uden brug af CAS.

$\small f(x)=4\cdot x^2+3\cdot x-2$
$\small g(x)=- x^3 – x$
$\small h(x)=-3\cdot x^2+7\cdot x-4$
$\small i(x)=7\cdot x^5+3\cdot x^4-x^3+5\cdot x^2+x-7$
$\small j(x)=0,6\cdot x^5-0,75\cdot x^4+x^3+3\cdot x^2-x$
$\small k(x)=0,01\cdot x^{100}-2\cdot x^{50}+x^{20}+3\cdot x^{15}$
$\small l(x)=x^{-2}+x$
$\small n(x)=\frac{1}{x^2}$
$\small m(x)=\frac{1}{x^3}+x^2$
$\small o(x)=\frac{x^2+2\cdot x}{x^3}$
$\small p(x)=\frac{3\cdot x^{-3}+7\cdot x^2-8}{x^{-3}}$
$\small q(x)=\frac{x^2-2x-8}{x+2}$

Grænseværdibegrebet

My mind goes in interesting directions when I’m trying to sleep. from r/3Blue1Brown

I det ovenstående indlæg på Reddit er svaret på et differentialregningsspørgsmål $\mathsf{e}^{\frac{1}{\mathsf{e}}}$ hele to gange. Vi vil her se lidt på dette udtryk. Vi starter med at se på hvilken værdi udtrykket har.

argumenter for at $\small \mathsf{e}^{\frac{1}{\mathsf{e}}}$er det samme som $\small \sqrt[\mathsf{e}]{\mathsf{e}}$.
hvilket tal ganget med sig selv $\small \mathsf{e}$ gange giver $\small \mathsf{e}$?

Vi ser nu på udtrykket som en funktion $\small f(x)=\sqrt[x]{x}$ og starter med at se på lidt intuition.

tegn en skitse på papir af, hvordan du forventer funktionen $\small f(x)$ ser ud.

Vi vil nu undersøge funktionen for at se hvordan den opfører sig.

hvad er den højeste værdi som $\small f(x)$ kan antage?
hvad er definitions- og værdimængden for $\small f(x)$?
argumenter for, hvad grænseværdien for $\small f(x)$ er, når $\small x$ går mod $\small 0$.
tegn basere på din undersøgelse, hvordan du nu forventer at funktionen ser ud.
plot $\small f(x)$ og se om det passer overens med det du har fundet ud af og din forventning.

INTEGRALREGNING

Integralregning

Stamfunktion

Du skal til de følgende funktioner finde stamfunktionen ved hjælp af regneregler

$\small f(x)=x^2+5x-3$

$\small g(x)=e^x-2x^4-4$

$\small h(x)=-2\sqrt{x}-4x^2+2$

$\small i(x)=-8x^4+2$

$\small j(x)=-\frac{1}{x}-5x+4$

$\small k(x)=\sqrt{x}-x+4$

$\small l(x)=e^x-4x^2-5$

$\small m(x)=-\sqrt{x}+1$

$\small n(x)=\frac{1}{x}-5x^2+1$

$\small o(x)=10x^2-8$

$\small p(x)=e^x+5x^2-1$

$\small q(x)=-2\frac{1}{x}-2x+1$

$\small r(x)=e^x+5x^2-4$

Delvis integration

Benyt delvis integration til at løse følgende integraler.

$\int 2x\cdot sin(x) dx$
$\int x\cdot \ln(x) dx$
$\int 3x\cdot \ln(x) dx$

Benyt delvis integration til at løse følgende integraler.

$\int x^2\cdot\sqrt{x} dx$
$\int x^2\cdot\ln(x) dx$
$\int [ln(x)]^2 dx$

Benyt delvis integration eller integration ved substitution til at løse følgende integraler.

$\int x\cdot e^{2x} dx$
$\int x\cdot\ln(x^2) dx$
$\int x^2\cdot (x^3+2)^5 dx$
$\int e^{\frac{1}{x}}\cdot x^{-2} dx$
$\int \sqrt{x}\cdot\ln(x) dx$
$\int x^2\cdot\ln(x^3+6) dx$
$\int \frac{e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$
$\int x^{0,1}\cdot (x^{1,1}+2)^4,3 dx$
$\int sin(\sqrt{x})$

Analytisk Plangeometri

Den rette linje

Vinklen mellem linjer

Eftervis formlen $\small \tan(\theta)={\left|{\frac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2}}\right|}$ som kan benyttes til at beregne vinklen mellem to rette linjer.

Hint:

Benyt at tangens til differencen mellem to vinkler kan beregnes på følgende måde $\small \tan(\alpha – \beta)=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$.1

Projektionen af punkt på linje

I et koordinatsystem er givet punktet $\small A(-1,2)$ og linjen $\small \ell : y=0,\!4\cdot x – 3,\!4$. Bestem projektionen $\small A_l$ af punktet $\small A$ ned på linjen $\ell$.

I et koordinatsystem danner de tre punkter $\small A(1,2)$, $\small B(4,6)$ og $\small C(3,-1)$ en trekant. Bestem fodpunktet for hver af de tre højder.

Bestem projektionen af følgende punkter ned på linjen $\small \ell : -3\cdot x – 2\cdot y +9 = 0$

$\small A(-1,5)$, $\small B(3,-4)$, $\small C(10,2)$ og $\small D(0,0)$

Vektorer

Determinanten

Hvis to vektorer er parallelle så vil determinanden være nul, dvs.

$\small \vec{a}\parallel\vec{b} \Leftrightarrow det(\vec{a},\vec{b})$

Vis algebraisk at hvis to vektorer er parallelle så vil determinanten altid være nul.

Prikprodukt

En trekant bestemmes ved punkterne A(1,2), B(3,4) og C(5,1). Bestem højden $\small h_b$ i trekanten.

https://courses.lumenlearning.com/precalctwo/chapter/sum-and-difference-identities/ ↩