Vi er i Basel i slutningen af 1600-tallet. En ung matematiker ved navn Jacob Bernoulli, stiller sig selv et tilsyneladende enkelt sp\u00f8rgsm\u00e5l.<\/p>\n\n\n\n
\n\u201cHvis jeg investerer \u00e9n florin til 100% rente om \u00e5ret, men renten bliver tilskrevet oftere og oftere, hvor meget vokser min formue s\u00e5?\u201d<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
Dette skulle dog vise sig at afsl\u00f8rer et af matematikkens mest specielle tal, p\u00e5 h\u00f8jde med konstanten \u03c0. Men inden vi kommer der til ser vi lige p\u00e5, hvad sker der egentligt n\u00e5r man tilskriver rente.<\/p>\n\n\n\n
Hvis vi skal tilskrive rente skal vi l\u00e6gge rente til det bel\u00f8b som vi har i banken. For det eksempel som hr Bernoulli t\u00e6nkte p\u00e5 i 1683, s\u00e5 ville en investering p\u00e5 \u00e9n florin til en rente p\u00e5 100% om \u00e5ret efter et \u00e5r l\u00f8be op i<\/p>\n\n\n\n
\\(1+1\/100\\cdot 100=1+1=2\\)<\/p>\n\n\n\n
Det vil sige to floriner. Ikke tosset. Dette kan vi ogs\u00e5 skrive som<\/p>\n\n\n\n
\\((1+r)^n\\)<\/p>\n\n\n\n
hvor r er rentefoden og n er antallet af terminer.<\/p>\n\n\n\n
Tilbage i Basel sad en undrende Bernoulli og funderede over hvad der ville ske hvis man fik tilskrevet renten oftere. Hvad nu hvis man fik tilskrevet renten to gange om \u00e5ret, alts\u00e5 hvert halv\u00e5r, men selvf\u00f8lgelig kun halvdelen af renten, hvad ville man s\u00e5 f\u00e5 udbetalt? For Bernoullis ene florin ville det l\u00f8be op i<\/p>\n\n\n\n
\\((1+1\/2)^2=2,25\\)<\/p>\n\n\n\n
som er 0,25 floriner mere. Det ville alts\u00e5 v\u00e6re en fordel at f\u00e5 tilskrevet renten oftere. Men hvorfor n\u00f8jes med en gang hver halv\u00e5r, hvorfor ikke hvert kvartal?<\/p>\n\n\n\n
\\((1+1\/4)^4=2,44\\)<\/p>\n\n\n\n
samt en del flere decimaler. Nu er vi n\u00e6sten allerede oppe p\u00e5 en halv florin mere. Det er lovende. Men hvorfor stoppe med hvert kvartal? Hvorfor ikke m\u00e5nedligt, dagligt, ja m\u00e5ske endda hver time. Hvad sker der hvis man forestiller sig, at tilskrive renten uendeligt ofte. Ville man s\u00e5 ende med 10 floriner, eller 20 floriner, ja m\u00e5ske endda 100 floriner. Man kunne m\u00e5ske endda blive rig p\u00e5 det!<\/p>\n\n\n\n
Til Bernoullis egen overraskelse, n\u00e6rmede tallet sig en gr\u00e6nse, en gr\u00e6nse som var relativ lavt tal. Et tal, han ikke havde set f\u00f8r og som senere skulle f\u00e5 sit helt eget navn. Men mere om det om lidt.<\/p>\n\n\n\n
Matematik ville vi skrive<\/p>\n\n\n\n
\\(\\lim_{n\\to\\infty}(1+1\/n)^n\u22482,718\\)<\/p>\n\n\n\n
som fort\u00e6ller, at hvis vi g\u00f8r n uendeligt stor, s\u00e5 vil renten ville uendelig lille (1\/n), mens man ville f\u00e5 uendelig mange terminer. Men lige meget hvor stor man g\u00e5r n s\u00e5 vil vi ikke komme h\u00f8jere op end 2,718, og s\u00e5 en masse decimaler.<\/p>\n\n\n\n
Man kunne alts\u00e5 h\u00f8jest opn\u00e5 en fortjeneste p\u00e5 1,718 floriner selvom man tilskrev rente uendeligt ofte.<\/p>\n\n\n\n
Godt 50 \u00e5r senere griber en anden schweizer id\u00e9en. Leonhard Euler, en af historiens st\u00f8rste matematikere, g\u00f8r det til noget mere end en tilf\u00e6ldig gr\u00e6nsev\u00e6rdi. Han navngiver det e, og vi kalder det i dag for Eulers tal.<\/p>\n\n\n\n
Euler definerer selve den eksponentielle funktionen<\/p>\n\n\n\n
\\(e^x=\\lim_{n\\to\\infty}(1+\\frac{x}{n})^n\\)<\/p>\n\n\n\n
Det, der begyndte med rentes rente hos Bernoulli, blev hos Euler til en funktion, der beskriver v\u00e6kst, henfald, sandsynligheder, b\u00f8lger og endda kvantemekanik.<\/p>\n\n\n\n
Men hvorfor er denne eksponentielle funktion med grundtallet \\(\\mathrm{e}\\)e s\u00e5 speciel? Vi har mange forskellige eksponentialfunktioner, \\(2^x\\),\\(10^x\\),\\(1,5^x\\),\\(0,7^x\\). Hvad g\u00f8r lige \\(\\mathrm{e}^x\\) speciel. Dette vendes der tilbage til, men lige nu vil vi bare n\u00f8jes med at det kun findes \u00e9n eksponentiel funktion. Alle eksponentielle funktioner kan omskrives til en hvilken som helst anden eksponentiel funktion<\/p>\n\n\n\n
\\(a^x=e^{x\\cdot ln(a)}\\)<\/p>\n\n\n\n
S\u00e5 selv n\u00e5r vi arbejder med 2^x eller 10^x, er det i virkeligheden bare e^x, vi ser i forkl\u00e6dning. \u00c9n funktion til at styrer dem alle.<\/p>\n\n\n\n