N\u00e5r vi arbejder med logaritmer ser der en r\u00e6kker grundl\u00e6ggende regneregler som vi kan g\u00f8re brug af. Der er 6 regneregler vi kan benytte til at omskrive et udtryk.<\/p>\n\n\n\n
Herunder er de 6 regler beskrevet med eksempler. <\/p>\n\n\n\n
Vi starter med at se p\u00e5 identitetsreglen som ligger grundlaget for logaritmen. <\/p>\n\n\n\n
Regel 1: identitetsreglen<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal tage logaritmen til en en v\u00e6rdi der er den samme som basen p\u00e5 logaritmen s\u00e5 vil dette altid give 1.<\/p>\n\n \\(\\log_b(b) =1\\)<\/p>\n\n Dette skyldes at \\(5^1=5\\).<\/p><\/div><\/div>\n\n\n\n Denne fort\u00e6ller os basalt set at hvis vi har en, at hvis vi allerede har basen s\u00e5 skal vi ikke gange den med sig selv igen da vi allerede har resultatet.<\/p>\n\n\n\n Regel 2 og 3 fort\u00e6llers os hvorledes logaritmer opf\u00f8rer sig n\u00e5r vi skal tage logaritmen af et produkt (to tal ganget sammen) eller af en kvotient (br\u00f8k). <\/p>\n\n\n\n Regel 2: produktreglen<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal tage logaritmen til et produkt vil det svare til summen af logaritmen til de to faktorer.<\/p>\n\n \\(\\log_b(m\\cdot n) = \\log_b(m) + \\log_b(n)\\)<\/p>\n\n\n Eksempel<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal beregne 2 tals-logaritmen til 16 kan vi skrive det som \\(16=2\\cdot8\\). Vi har derfor at<\/p>\n\n \\(\\begin{align}\\log_2(16)&=\\log_2(2\\cdot 8)\\\\ &= \\log_2(2) + \\log_2(8)\\\\ &= 1+3\\\\&= 4\\end{align}\\)<\/p>\n\n Hvilken m\u00e5ske i dette eksempel nemt kunne ses at hvis vi skal gange 2 md sig selv et ukendt antal gange og f\u00e5 16 s\u00e5 vil det v\u00e6re 4 gang vi skal gange 2 med sig selv.<\/p><\/div><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n Regel 3: kvotientreglen<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal tage logaritmen til et produkt vil det svare til differensen af logaritmen til de to faktorer.<\/p>\n\n \\(\\log_b(\\frac{m}{n}) = \\log_b(m) – \\log_b(n)\\)<\/p>\n\n\n Eksempel<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal beregne 2-tals-logaritmen til 0,25 kan vi skrive det som \\(0,25=\\frac{1}{4}\\). Vi har derfor at<\/p>\n\n \\(\\begin{align}\\log_2(0,25)&=\\log_2(\\frac{1}{4})\\\\ &= \\log_2(1) + \\log_2(4)\\\\ &= 0-2\\\\&= -2\\end{align}\\)<\/p>\n\n Her skal vi huske p\u00e5 at logaritmen til 1 altid er 0. Dette skyldes at hvis eksponenten er 0, det vil sig \\(a^0\\), s\u00e5 er det altid 1. Og da logaritmen sp\u00f8rger til potensen s\u00e5 er den nul.<\/p><\/div><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Disse to regneregler bruges ikke s\u00e5 ofte, men kan ses en gang i mellem. De var specielt meget brugt den gang man ikke havde lommeregner. S\u00e5 havde man en masse tabeller hvor der var regnet potenser ud og s\u00e5 kunne man benytte disse tabeller til at gange to tal sammen ved at omdanne dem til logaritme, ligge dem sammen, og derefter regne tilbage til potens. Det virker mere omst\u00e6ndigt og besv\u00e6rligt, men tro mig det var meget nemmere og hurtigere end at skulle gange ud i h\u00e5nden p\u00e5 den lange m\u00e5de.<\/p>\n\n\n\n Den 4 regel er nok den regl som oftes benyttes. Det g\u00f8r os i stand til at f\u00e5 eksponenten i en potens ned s\u00e5 ledes at vi kan beregne finden den. Ogs\u00e5 selvom vi ikke direkte kan se hvad resultatet er intuitivt.<\/p>\n\n\n\n Regel 4: potensreglen<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal tage logaritmen til en potens, kan vi s\u00e6tte eksponenten udenfor og gange med logaritmen til grundtallet.<\/p>\n\n \\(\\log_b(a^m) = m\\cdot\\log_b(a)\\)<\/p>\n\n\n Eksempel<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal beregne 3-tals-logaritmen til 9 kan vi skrive det som \\(9=3^2\\). Vi har derfor at<\/p>\n\n \\(\\begin{align}\\log_3(9)&=\\log_3(3^2)\\\\ &= 2\\cdot\\log_3(3)\\\\ &= 2\\cdot 1\\\\&= 2\\end{align}\\)<\/p>\n\n Dette kunne vi allerede regne ud fra starten, men denne regneregl kan hj\u00e6lpe os i de tilf\u00e6lde hvor det ikke er s\u00e5 nemt at se.<\/p><\/div><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Denne regel kan ogs\u00e5 bruges til at forklare nogle af de andre regler, foreksempel regel 3 (kvotientreglen) eller den n\u00e6ste regl, inversreglen.<\/p>\n\n\n\n Inversreglen fort\u00e6lles os den korteste vej til at finde eksponenten.<\/p>\n\n\n\n Regel 5: inverssreglen<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal tage logaritmen til en potens, hvor grundtallet og basen er ens s\u00e5 vil logaritmen give eksponenten<\/p>\n\n \\(\\log_b(b^m) = m\\)<\/p>\n\n\n Eksempel<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skal beregne 3-tals-logaritmen til 9 kan vi skrive det som \\(9=3^2\\). Vi har derfor at<\/p>\n\n \\(\\begin{align}\\log_3(9)&=\\log_3(3^2)\\\\ &= 2\\cdot\\log_3(3)\\\\ &= 2\\cdot 1\\\\&= 2\\end{align}\\)<\/p>\n\n Dette kunne vi allerede regne ud fra starten, men denne regneregl kan hj\u00e6lpe os i de tilf\u00e6lde hvor det ikke er s\u00e5 nemt at se.<\/p><\/div><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Den kan ogs\u00e5 forklares ud fra potensreglen og identitetsreglen. <\/p>\n\n\n\n Den sidste regel fort\u00e6lles hvordan vi kan beregne et udtryk hvis vi v\u00e6lger en anden base en den oplagte.<\/p>\n\n\n\n\n\n Regel 5: skift af base-formlen<\/strong><\/p>\n\n Hvis vi skulle tage logaritmen med basen b, kunne v\u00e6re 2, til et tal, men kun har base 10 til r\u00e5dighed s\u00e5 kan vi beregne den p\u00e5 denne m\u00e5de<\/p>\n\n \\(\\log_b(m) = \\frac{\\log_k(m)}{\\log_k(b)}\\)<\/p>\n\n\n Eksempel<\/strong> 1<\/p>\n\n Hvis vi skal beregne 2-tals-logaritmen til 16 p\u00e5 en lommeregner, hvor vi kun har en knap der kan regne 10-tals-logaritmer m\u00e5 vi lave et skift af base<\/p>\n\n \\(\\begin{align}\\log_2(16)&=\\frac{\\log_{10}(16)}{\\log_{10}(2)}\\\\&=\\frac{1,2041}{0,3010}\\\\&\u22484\\end{align}\\)<\/p>\n\n Dette kunne vi allerede regne ud fra starten, men denne regneregl kan hj\u00e6lpe os i de tilf\u00e6lde hvor det ikke er s\u00e5 nemt at se.<\/p><\/div><\/div>\n\n\n\n Eksempel<\/strong> 2<\/p>\n\n Hvis vi skal beregne 9-talslogaritmen til 27 kan vi umiddelbart ikke som i eksemplet ovenover finde svaret. S\u00e5 vi laver et base skift til base 3, da b\u00e5de 3 og 27 er en potens af 3.<\/p>\n\n \\(\\begin{align}\\log_9(27)&=\\frac{\\log_{3}(27)}{\\log_{3}(9)}\\\\&=\\frac{3}{2}\\\\&1,5\\end{align}\\)<\/p>\n\n Vi kunne i f\u00f8rste omgang ikke umiddelbart se at det skulle v\u00e6re 1,5, men skiftet i base gjorde at det var muligt at regne selv uden lommeregner.<\/p><\/div><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n Denne regel g\u00e5r at vi kan n\u00f8jes med en enkelt logaritme-tabel (knap p\u00e5 lommeregneren) og s\u00e5ledes stadigv\u00e6k kunne beregne logaritmen. Kan kan sige at der kun er en logaritme, da alle andre kan omdanne til denne ene. Af forskellige \u00e5rsager er denne ene logaritme valget er faldet p\u00e5 den naturlige logaritme \\(\\ln\\) som har basen \\(e\\). Der kan l\u00e6ses mere om konverteringen mellem logaritmer her<\/a>.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n