{"id":2215,"date":"2023-03-06T21:11:53","date_gmt":"2023-03-06T20:11:53","guid":{"rendered":"https:\/\/mxth.dk\/?p=2215"},"modified":"2026-04-24T00:17:22","modified_gmt":"2026-04-23T22:17:22","slug":"fordoblingstid","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mxth.dk\/?p=2215","title":{"rendered":"Fordoblingskonstant"},"content":{"rendered":"\n
\n

I would point out is that most of the change over the past 5,000 years has been arithmetic, and it now logarithmic.<\/p>\n\n\n\n

Digitization, the whole Moore’s law thing where it doubles every 18 months – that is a speed that is faster than most people are used to.<\/p>\nKen Moelis<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

Vi har nu set p\u00e5 b\u00e5de eksponentiel- og logaritmefunktioner og deres indbyrdes forhold. Vi skal her til sidst se p\u00e5 en egenskab ved eksponentielle funktioner.<\/p>\n\n\n

Hvis vi for eksempel har en konto i banken hvor p\u00e5 der pr dags dato st\u00e5r 1000kr og renten er 1,25% kunne vi v\u00e6re interesseret i at vide hvor lang tid der g\u00e5r inden bel\u00f8bet er fordoblet.<\/p>\n\n\n

Vi har tidligere snakket om at for en eksponentiel funktion s\u00e5 vokser den med den samme procent n\u00e5r x-v\u00e6rdien \u00f8ges med \u00e9n underordnet hvor henne p\u00e5 x-aksen vi befinder os. Det er m\u00e5ske derfor heller ikke s\u00e5 m\u00e6rkeligt at x-v\u00e6rdien \u00f8ges med den samme v\u00e6rdi n\u00e5r y-v\u00e6rdien fordobles. <\/p>\n\n\n

\n

E. coli er en kendt og nok den mest studerede bakterie i l\u00f8bet af de sidste 60 \u00e5r. I naturen har den en cyklus, hvor den deler sig hver 15. time, hvorfor der hver 15. time er dobbelt s\u00e5 mange bakterier som der fra 15. timer f\u00f8r, med den betingelse at der ikke er nogle af dem der d\u00f8r. At undg\u00e5 celled\u00f8d er mere realistisk at opn\u00e5 i et laboratorie og her vil tiden der g\u00e5r for at en bakteriekoloni er fordoblet typisk v\u00e6re 20 minutter da man her kan s\u00f8rge for at der er optimale v\u00e6kstbetingelser. 1<\/a><\/p>\n\n\n

Videoen viser en falskfarvet time-lapse video fra flourescensmikroskopi af en voksende koloni af E. coli<\/em>-celler. Videoen best\u00e5r af 114 billeder, hvor de f\u00f8rste 40 billeder er taget med 4 minutters interval, og de resterende 74 billeder er taget med 2 minutters interval. Hentet fra Aging and Death in an Organism That Reproduces by Morphologically Symmetric Division<\/em> (Steward et al., 2005) https:\/\/doi.org\/10.1371\/journal.pbio.0030045<\/a>. Videoen er licenseret under CC BY-SA 4.0<\/a> \"\"\"\"\"\".<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n\n

Den tid der g\u00e5r f\u00f8r en bakteriekoloni eller bel\u00f8bet p\u00e5 en bankkonto er fordoblet kaldes for fordoblingstiden eller mere generelt fordoblingskonstanten.

Fordoblingskonstanten, \\(T_2\\), er den v\u00e6rdi der skal ligges til \\(x\\)-v\u00e6rdien for at \\(y\\)-v\u00e6rdien for funktionen \\(f(x)\\) fordobles.<\/p>\n\n\n\n

\\(b\\cdot a^{x+T_2}=2\\cdot f(x)\\)<\/p>\n\n\n\n

Lad os se p\u00e5 en konkret eksponentiel funktion. <\/p>\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n

Vi kan herover se at hvis \\(y\\)-v\u00e6rdien for B (bl\u00e5) er dobbelt s\u00e5 stor som \\(y\\)-v\u00e6rdien for A (r\u00f8d) s\u00e5 vil forskellen mellem de to \\(x\\)-v\u00e6rdier v\u00e6re ens.<\/p>\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n

Hvis vi ser p\u00e5 n\u00e5r A(0,1) og B(5,2) s\u00e5 er forskellen p\u00e5 \\(x\\)-v\u00e6rdierne 5. Hvis Ay er 2 og By er 4 er \u0394x stadig 5 og hvis Ay er 4 og By er 8 s\u00e5 er \u0394x stadig 5. N\u00e5r \\(x\\) vokser med 5 fordobles \\(y\\)-v\u00e6rdien.<\/p>\n\n\n\n

Vi kan beregne fordoblingskonstanten (\\(T_2\\)) ved hj\u00e6lp af <\/p>\n\n\n\n

\\(T_2 = \\frac{\\ln(2)}{\\ln(a)}\\)<\/p>\n\n\n\n

s\u00e5 l\u00e6nge grundtallet a er st\u00f8rre end 1. Det vil sige, at det er en eksponentielt voksende funktion.<\/p>\n\n\n\n

Lad os se p\u00e5 et par eksempler. Vi starter med at se p\u00e5 at bestemme fordoblingskonstanten.<\/p>\n\n\n

\n

For en eksponentiel funktion er forskriften \\(f(x)=3\\cdot 5^x\\). Bestem fordoblingskonstanten.<\/p>\n\n\n\n

L\u00d8SNING<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Da vi skal finde fordoblingskonstanten og vi kender forskriften og derfor grundtallet kan vi direkte bruge formlen<\/p>\n\n\n\n

\\(T_2 = \\frac{\\ln(2)}{\\ln(a)}\\)<\/p>\n\n\n\n

Vi inds\u00e6tter v\u00e6rdierne ind i formlen.<\/p>\n\n\n\n

\\(T_2 = \\frac{\\ln(2)}{\\ln(5)}=0,4307\\)<\/p>\n\n\n\n

Fordoblingskonstanten er derfor 0,4307.<\/p>\n<\/div>\n\n\n

Men vi kan ogs\u00e5 godt bestemme fremskrivningsfaktoren og den relative tilv\u00e6kst hvis vi kender fordoblinskonstanten<\/p>\n\n\n

\n

P\u00e5 en konto st\u00e5r der 5837kr. Vi har f\u00e5et at vide at det vil tage 51 terminer f\u00f8r dette bel\u00f8b er fordoblet. Hvad er renten p\u00e5 kontoen?<\/p>\n\n\n\n

L\u00d8SNING<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Da vi her kender fordoblingskonstanten men mangler grundtallet kan vi benytte formlen for fordoblingskonstanten og omskrive den.<\/p>\n\n\n\n

\\(T_2=\\frac{\\ln(2)}{\\ln(a)}\\)<\/p>\n\n\n\n

\\(\\ln(a)=\\frac{\\ln(2)}{T_2}\\)<\/p>\n\n\n\n

Da vi gerne vil have isoleret \\(a\\) skal vi opl\u00f8fte begge sidder til en eksponent. Men grundtallet og basen p\u00e5 logaritmen skal passe sammen. Vi har derfor at<\/p>\n\n\n\n

\\(\\ln(a)=\\frac{\\log_2(2)}{T_2}\\)<\/p>\n\n\n\n

\\(\\log_2(a)=\\frac{1}{T_2}\\)<\/p>\n\n\n\n

\\(\\mathrm{e}^{\\ln(a)}=\\mathrm{e}^{\\frac{\\ln(2)}{T_2}}\\)<\/p>\n\n\n\n

\\(a=\\mathrm{e}^{\\frac{1}{T_2}\\cdot\\ln(2)}=(\\mathrm{e}^{\\ln(2)})^\\frac{1}{T_2}=2^\\frac{1}{T_2}\\)<\/p>\n\n\n\n

Vi kan nu inds\u00e6tte v\u00e6rdien for fordoblingskonstanten og finde grundtallet.<\/p>\n\n\n\n

\\(a=2^{\\frac{1}{51}}=1,0137\\)<\/p>\n\n\n\n

Grundtallet for den eksponentielle funktion der beskriver bel\u00f8bets udvikling er 1,0137 og en rente p\u00e5<\/p>\n\n\n\n

\\(r=(1,0137-1)\\cdot 100\\%=1,37\\%\\)<\/p>\n\n\n\n

Renten p\u00e5 kontoen er derfor 1,37%.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n\n