Vi skal her se lidt p\u00e5 raketligningen og hvorledes vi kan beregne p\u00e5 sluthastighed, fremdrist eller br\u00e6ndstofsdimensionering i forbindelse med rumfart.<\/p>\n\n\n\n
Vi vil starte med at se p\u00e5 hvorledes vi ved hj\u00e6lp af impuls kan betragte rumfart\u00f8jet.<\/p>\n\n\n\n
Impuls er et sp\u00f8rgsm\u00e5l om hvor nemt det er at \u00e6ndre et objekts bev\u00e6gelse. Hvis det har h\u00f8j hastighed vil det v\u00e6re impulsen v\u00e6re h\u00f8j, vi vil hellere stoppe en s\u00e6bekassebil der triller ned af en bakke med 0,5 m\/s end en s\u00e6bekassebil der triller med 100 m\/s. Ligeledes vil vi ogs\u00e5 hellere stoffe en s\u00e6bekassebil der triller med 3 m\/s end en lastbil der triller med 3 m\/s, ergo h\u00f8jere masse giver h\u00f8jere impuls. <\/p>\n\n\n\n
Vi kan udtrykke det som<\/p>\n\n\n\n
$p=m\\cdot v$<\/p>\n\n\n\n
hvor p<\/em> er impulsen, m<\/em> er massen og v<\/em> er hastigheden.<\/p>\n\n\n\n For et rumfart\u00f8j kan vi beregne dens impuls f\u00f8r vi starter motoren.<\/p>\n\n\n\n $p_{f\u00f8r}=m\\cdot v$<\/p>\n\n\n\n N\u00e5r vi t\u00e6nder for motoren s\u00e5 vil vi forbr\u00e6nde br\u00e6ndstof og derved vil massen af rumfart\u00f8jet \u00e6ndre sig, rumfart\u00f8jets masse vil \u00e6ndre sig og br\u00e6ndstoffet vil blive presset ud med en hastighed, u<\/em>, svarende til v – u<\/em> i forhold til omgivelserne.<\/p>\n\n\n\n Vi kan derfor beregne den samlede impuls efter vi har t\u00e6ndt motoren ved<\/p>\n\n\n\n $p_{efter}=(m+\\Delta m)\\cdot (v+\\Delta v)+(-\\Delta m)\\cdot (v-u)$<\/p>\n\n\n\n Vi omskriver dette udtruk for impulsen efter ved at oph\u00e6ve parenteserne<\/p>\n\n\n\n $p_{efter}=m\\cdot v+m\\cdot\\Delta v+\\Delta m\\cdot v+\\Delta m\\cdot \\Delta v-\\Delta m\\cdot v+\\Delta m\\cdot u$<\/p>\n\n\n\n Vi kan se at der er to led som g\u00e5r ud med hinanden<\/p>\n\n\n\n $p_{efter}=m\\cdot v+m\\cdot\\Delta v+\\!\\!\\cancel{\\Delta m\\cdot v}+\\Delta m\\cdot \\Delta v-\\!\\!\\cancel{\\Delta m\\cdot v}+\\Delta m\\cdot u$<\/p>\n\n\n\n Som derfor reduceres til<\/p>\n\n\n\n $p_{efter}=m\\cdot v+m\\cdot\\Delta v+\\Delta m\\cdot \\Delta v+\\Delta m\\cdot u$<\/p>\n\n\n\n Vi kan nu beregne \u00e6ndringen i impulsen som er <\/p>\n\n\n\n $\\Delta p=p_{efter}-p_{f\u00f8r}$<\/p>\n\n\n\n Vi har derved at \u00e6ndringen i impulsen er<\/p>\n\n\n\n $\\Delta p=m\\cdot v+m\\cdot\\Delta v+\\Delta m\\cdot \\Delta v+\\Delta m\\cdot u-m\\cdot v$<\/p>\n\n\n\n hvor vi igen har to led der g\u00e5r ud<\/p>\n\n\n\n $\\Delta p=\\!\\!\\cancel{m\\cdot v}+m\\cdot\\Delta v+\\Delta m\\cdot \\Delta v+\\Delta m\\cdot u-\\!\\!\\cancel{m\\cdot v}$<\/p>\n\n\n\n og vi derved har at \u00e6ndringen i impulsen er<\/p>\n\n\n\n $\\Delta p=m\\cdot\\Delta v+\\Delta m\\cdot \\Delta v+\\Delta m\\cdot u$<\/p>\n\n\n\n Vi kan lave en lille simplificering ved at de p\u00e5 det midterste led p\u00e5 h\u00f8jresiden, her st\u00e5r der<\/p>\n\n\n\n $\\Delta m\\cdot\\Delta v$<\/p>\n\n\n\n Da vi snakker sm\u00e5 \u00e6ndringer s\u00e5 vil dette led blive meget lille, faktisk s\u00e5 lille at vi kan se bort fra det. Det er ikke nul, s\u00e5 det er en simplificering, men det er t\u00e6t p\u00e5 nul. Vi f\u00e5r derfor at<\/p>\n\n\n\n $\\Delta p=m\\cdot\\Delta v+\\Delta m\\cdot u$<\/p>\n\n\n\n Hvis vi er i rummet og der derfor ikke er noget der kan p\u00e5virke impulsen vil impuls\u00e6ndringen v\u00e6re nul<\/p>\n\n\n\n $\\Delta p=0$<\/p>\n\n\n\n men hvis vi opsender rumfart\u00f8jet fra jordens overflade s\u00e5 vil tyngdekraften have en effekt p\u00e5 impulsen. Da tyngdekraften trykker rumfart\u00f8jet nedad vi den derfor bremse rumfart\u00f8jet og dette skal vi derfor tage h\u00f8jde for.<\/p>\n\n\n\n Til at g\u00f8re dette skal vi se p\u00e5 Newtons anden lov som siger<\/p>\n\n\n\n $F_{res}=m\\cdot a$<\/p>\n\n\n\n men da vi ved at accelerationen er \u00e6ndring i hastighed pr. tid, dvs.<\/p>\n\n\n\n $a=\\frac{\\Delta v}{\\Delta t}$<\/p>\n\n\n\n s\u00e5 kan vi skrive Newtons anden lov som<\/p>\n\n\n\n $F_{res}=m\\cdot\\frac{\\Delta v}{\\Delta t}=\\frac{m\\cdot \\Delta v}{\\Delta t}$<\/p>\n\n\n\n Her har vi i t\u00e6lleren masse gange hastighed som er impulsen. Da vi har en \u00e6ndring i hastighed vil det derfor svare til en \u00e6ndring i impuls og Newtons anden lov bliver til<\/p>\n\n\n\n $F_{res}=\\frac{\\Delta p}{\\Delta t}$<\/p>\n\n\n\n Denne er egentlig den m\u00e5de Newton fremsatte sin lov p\u00e5. Han sagde nemlig<\/p>\n\n\n\n \u201cThe change of motion of an object is proportional to the force impressed; and is made in the direction of the straight line in which the force is impressed.<\/em>\u201c<\/p>\n\n\n\n Isaac Newton<\/p>\n\n\n\n Ved denne m\u00e5de at opstille Newtons anden lov p\u00e5 har vi at impuls\u00e6ndringen derfor ogs\u00e5 kan skrives som<\/p>\n\n\n\n $\\Delta p=F_{res}\\cdot\\Delta t$<\/p>\n\n\n\n Den resulterende kraft vil i dette tilf\u00e6lde v\u00e6re tyngdekraften som virker p\u00e5 rumfart\u00f8jet. Da tyngdekraften virker i modsat retning i forhold til hvilken rumfart\u00f8jet bev\u00e6ger sig i er den derfor negativ. Impuls\u00e6ndringen er derfor<\/p>\n\n\n\n $\\Delta p=-m\\cdot g\\cdot\\Delta t$<\/p>\n\n\n\n Da b\u00e5de dette udtryk og udtrykke vi fik da vi s\u00e5 p\u00e5 impulsen for rumfart\u00f8jet beskriver impuls\u00e6ndringen m\u00e5 disse to udtryk v\u00e6re ens og vi har derfor at<\/p>\n\n\n\n $-m\\cdot g\\cdot\\Delta t=m\\cdot\\Delta v+\\Delta m\\cdot u$<\/p>\n\n\n\n Denne ligning (som egentlig er en differentialligning) beskriver rumfart\u00f8jets bev\u00e6gelse n\u00e5r forbr\u00e6ndingsmotorerne t\u00e6ndes og kaldes derfor ogs\u00e5 for raketligningen<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Med denne ligning kan vi beregne hvad sluthastigheden bliver, hvor meget br\u00e6ndstof der skal til, fremdriften eller hvilken h\u00f8jde vi kan opn\u00e5. Til at g\u00f8re dette skal vi l\u00f8se raketligningen for den st\u00f8rrelse vi gerne vil beskrive og dette beskrives i de tre afsnit herunder.<\/p>\n\n\n\n Lad os starte med at se p\u00e5 hastigheden.<\/p>\n\n\n\n Hvis vi gerne vil se p\u00e5 sluthastigheden skal vi starte med raketligningen<\/p>\n\n\n\n $-m\\cdot g\\cdot\\Delta t=m\\cdot\\Delta v+\\Delta m\\cdot u$<\/p>\n\n\n\n Da vi er interesseret i hastigheden af rumfart\u00f8jet, v, skal vi isolere $\\Delta v$ i ligningen og vi f\u00e5r<\/p>\n\n\n\n $\\Delta v=-\\Delta m\\cdot u\\cdot\\frac{1}{m}-g\\cdot\\Delta t$<\/p>\n\n\n\n Da vi ser p\u00e5 sm\u00e5 \u00e6ndringer s\u00e5 \u00e6ndre vi $\\Delta$ til d.<\/p>\n\n\n\n $dv=-dm\\cdot u\\cdot\\frac{1}{m}-g\\cdot dt$<\/p>\n\n\n\n Da vi hele tiden \u00e6ndre summerer vi op over alle de sm\u00e5 \u00e6ndringer for at finde sluthastigheden. Dette g\u00f8r vi ved at integrere p\u00e5 begge sider og lighedstegnet.<\/p>\n\n\n\n $\\int dv=-\\int dm\\cdot u\\cdot\\frac{1}{m}-\\int g\\cdot dt$<\/p>\n\n\n\n hvor vi kan integrere hver led for sig. P\u00e5 h\u00f8jresiden har vi to integraler som indeholder konstanter som derfor kan s\u00e6ttes uden for integraltegnet. Vi har derfor at<\/p>\n\n\n\n $\\int dv=-u\\cdot\\int \\frac{1}{m}dm-g\\cdot\\int dt$<\/p>\n\n\n\n Hvis vi integrerer fra start til slut vil vi have <\/p>\n\n\n\n $\\int_{v_{start}}^{v_{slut}} dv=-u\\cdot\\int_{m+m_b}^{m} \\frac{1}{m}dm-g\\cdot\\int_0^T dt$<\/p>\n\n\n\n Dette giver<\/p>\n\n\n\n $v_{slut}-v_{start}=-u\\cdot\\ln(m)+u\\cdot\\ln(m+m_b)-g\\cdot T$<\/p>\n\n\n\n Vi kan ved hj\u00e6lp af logaritmeregnereglen<\/p>\n\n\n\n $\\ln(\\frac{a}{b})=\\ln(a)-\\ln(b)$<\/p>\n\n\n\n Omskrive til<\/p>\n\n\n\n $v_{slut}-v_{start}=u\\cdot\\ln(\\frac{m+m_b}{m})-g\\cdot T$<\/p>\n\n\n\n som i sidste ende kan omskrives til<\/p>\n\n\n\n $v_{slut}-v_{start}=u\\cdot\\ln(1+\\frac{m_b}{m})-g\\cdot T$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Vi skal her se lidt p\u00e5 raketligningen og hvorledes vi kan beregne p\u00e5 sluthastighed, fremdrist eller br\u00e6ndstofsdimensionering i forbindelse med rumfart. Vi vil starte med at se p\u00e5 hvorledes vi ved hj\u00e6lp af impuls kan betragte rumfart\u00f8jet. Impuls er et sp\u00f8rgsm\u00e5l om hvor nemt det er at \u00e6ndre et objekts bev\u00e6gelse. Hvis det har h\u00f8j […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ub_ctt_via":"","editor_plus_copied_stylings":"{}","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[2,42],"tags":[],"class_list":["post-2440","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-fysik","category-rumteknologi"],"featured_image_src":null,"author_info":{"display_name":"Henriksen","author_link":"https:\/\/mxth.dk\/?author=1"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2440","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2440"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2440\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2455,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2440\/revisions\/2455"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2440"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2440"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2440"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}Sluthastigheden<\/h4>\n\n\n\n