{"id":2980,"date":"2024-01-26T06:03:04","date_gmt":"2024-01-26T05:03:04","guid":{"rendered":"https:\/\/mxth.dk\/?p=2980"},"modified":"2026-04-09T22:41:01","modified_gmt":"2026-04-09T20:41:01","slug":"linjeelementer-og-linjefelt","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mxth.dk\/?p=2980","title":{"rendered":"Linjeelementer og linjefelt"},"content":{"rendered":"\n

N\u00e5r vi grafisk skal analysere en differentialligning kan vi indtegne et linjefelt i et koordinatsystem, som viser hvorledes l\u00f8sningerne til differentialligningen vil forl\u00f8be. Man kan se det lidt som p\u00e5 et linjefelt som de sm\u00e5 metalsp\u00e5ner man kan sprede p\u00e5 en overflade og som vil indrette sig i forhold til det magnetiske felt s\u00e5ledes at man kan visualisere det.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n

Foto af Windell Oskay<\/a> p\u00e5 flickr<\/a><\/p>\n\n\n

Man kan godt forrestille sig hvorledes felterne g\u00e5r udfra hvordan metalsp\u00e5nerne ligger. P\u00e5 samme m\u00e5de kan vi lave sm\u00e5 metalsp\u00e5ner ud fra en differentialligning og derved dannet et billede af hvordan l\u00f8sningen til differentiallignen ser ud visuelt. Men hvordan laver vi de sm\u00e5 metalsp\u00e5ner?<\/p>\n\n\n\n

En differentialligning indeholder en differentialkvotient. Vi kan huske fra differentialregningen at differentialkvotienten fort\u00e6ller os hvad h\u00e6ldningen er p\u00e5 vores funktion. Men da h\u00e6ldningen p\u00e5 en given funktion godt kan \u00e6ndre sig, det er faktisk det mest sandsynlige, s\u00e5 er differentialkvotienten en funktion, som beskriver h\u00e6ldningen til vores funktion baseret p\u00e5 x-v\u00e6rdien.<\/p>\n\n\n\n

Det vil sige, at hvis vi havde differentialligningen \\(\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}x}=x\\), hvilket er det samme som at skrive \\(f\u2019(x)=x\\) eller bare \\(y\u2019=x\\). Vi kan her se at til x-v\u00e6rdien 4 s\u00e5 vil h\u00e6ldningen v\u00e6re 4. Eller til x-v\u00e6rdien -1 er h\u00e6ldningen -1. Vi kan derfor til et vilk\u00e5rligt punkt angive hvad h\u00e6ldningen p\u00e5 funktionen er i dette punkt. <\/p>\n\n\n\n

Hvis vi igen pr\u00f8ver at se p\u00e5 differentialligningen \\(\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}x}=x\\) s\u00e5 kan vi til et hvert punkt beregne hvad h\u00e6ldningen er. S\u00e5ledes at til punktet (0, 0) er x-v\u00e6rdien 0 og derfor er h\u00e6ldningen 0. Til punktet (1, 0) er x-v\u00e6rdien 1 og derfor er h\u00e6ldningen 1. Og til punktet (-3, 4) er x-v\u00e6rdien -3 og derfor er h\u00e6ldningen -3. Hvis vi indtegner det for alle punkter vi kan se f\u00e5r vi noget som ser s\u00e5ledes ud. <\/p>\n\n\n\n