{"id":3752,"date":"2026-09-01T15:36:49","date_gmt":"2026-09-01T13:36:49","guid":{"rendered":"https:\/\/mxth.dk\/?p=3752"},"modified":"2026-09-01T23:35:19","modified_gmt":"2026-09-01T21:35:19","slug":"nulpunkter-for-andengradspolynomium","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mxth.dk\/?p=3752","title":{"rendered":"Nulpunkter for andengradspolynomium"},"content":{"rendered":"\n

Vi skal her s\u00e5 p\u00e5 hvorledes vi kan bestemme nulpunkter for andengradspolynomier. Nulpunkter (eller r\u00f8dder) er der hvor andengradspolynomiet sk\u00e6rer x-aksen, det vil sige at vi skal unders\u00f8ge hvorn\u00e5r \\(f(x)=0\\).<\/p>\n\n\n

Simple andengradsligninger af typen \\(f(x)=ax^2+c\\)<\/h2>\n\n\n

Vi starter med at se p\u00e5 den meste simple af andengradsfunktionerne nemlig \\(f(x)=x^2\\). Hvis vi tegner den f\u00e5r vi f\u00f8lgende graf<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p><\/p>\n\n\n\n

Det ses her at toppunktet ligger p\u00e5 x-aksen placeret i (0,0). Hvis vi s\u00e6tter funktionensv\u00e6rdien lig med nul for vi at<\/p>\n\n\n\n

\\(f(x)=x^2=0\\)<\/p>\n\n\n\n

Hvis vi skal l\u00f8se denne f\u00e5r vi at <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x^2&=0\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{0}\\x&=\pm 0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vi ser her at til x-v\u00e6rdien 0 er y-v\u00e6rdien 0, hvilket passer med at funktionen netop har toppunkt i (0,0).<\/p>\n\n\n\n

Lad os se p\u00e5 et lidt mere generelt eksempel. Las os se p\u00e5 funktionen \\(f(x)=x^2-25\\). Hvis vi ser p\u00e5 funktionen kan vi se at toppunktet ligger under x-aksen og da a er positiv er funktionen konveks og derfor vokser den p\u00e5 begge sider af toppunktet og derved vil den sk\u00e6rer x-aksen. Da toppunktet ligger p\u00e5 y-aksen og andengradsfunktionen er symmetrisk vil de to nulpunkter ogs\u00e5 ligge symmetrisk omkring y-aksen.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p><\/p>\n\n\n\n

Hvis vi s\u00e6tter funktionensv\u00e6rdien lig med nul for vi at<\/p>\n\n\n\n

\\(f(x)=x^2-4=0\\)<\/p>\n\n\n\n

L\u00f8sningen bliver derfor<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x^2-4&=0\\x^2&=4\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{4}\\x&=\pm 2\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vi ser her at til x-v\u00e6rdien 2 og -2 er y-v\u00e6rdien 0, hvilket passer med at funktionen netop har sk\u00e6rringspunkterne (-2,0) og (2,0).<\/p>\n\n\n\n

Lad os se p\u00e5 et sidste eksempel. Lad andengradsfunktionen v\u00e6re<\/p>\n\n\n\n

\\(f(x)=2x^2-18\\)<\/p>\n\n\n\n

Hvis vi skal funde nulpunkter skal vi s\u00e6tte funktionsv\u00e6rdien til nul.<\/p>\n\n\n\n

\\(f(x)=2x^2-18=0\\)<\/p>\n\n\n\n

Hvi har derved at <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}2x^2-18&=0\\2x^2&=18\\x^2&=\frac{18}{2}=9\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{9}\\x&=\pm 3\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vi ser her at til x-v\u00e6rdien 3 og -3 er y-v\u00e6rdien 0, hvilket passer med at funktionens sk\u00e6rringspunkterne igen ligger symmetrisk omkring y-aksen og er (-3,0) og (3,0).<\/p>\n\n\n\n

Generelt har vi at for denne type af ligninger p\u00e5 formen<\/p>\n\n\n\n

\\(f(x)=ax^2+c\\)<\/p>\n\n\n\n

Vil have l\u00f8sningen<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}ax^2+c&=0\\ax^2&=-c\\x^2&=\frac{-c}{a}\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{\frac{-c}{a}}\\x&=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Det kan ogs\u00e5 ses her at for at en funktion af denne type har en l\u00f8sning skal koefficienterne a og c have modsat fortegn.<\/p>\n\n\n\n

Andengradsfunktioner af typen \\(f(x)=ax^2+bx\\)<\/h2>\n\n\n\n

Vi har nu set p\u00e5 andengradsfunktioner hvor leddet bx manglede. Vi vil nu se p\u00e5 ligninger som har dette led men som ikke har konstantleddet c. Dette g\u00e5r at vi kun har to led og at x indg\u00e5r i begge led hvilket g\u00e5r at vi kan l\u00f8se dem p\u00e5 en anden m\u00e5de. Lad os se p\u00e5 et eksempel<\/p>\n\n\n\n

\\(f(x)=2x^2+6x\\)<\/p>\n\n\n\n

For at finde nulpunkter skal vi l\u00f8se ligningen <\/p>\n\n\n\n

\\(2x^2+6x=0\\)<\/p>\n\n\n\n

Til at l\u00f8se denne kan vi benytte os af nulreglen. Den siger at hvis vi har et produkt som giver nul s\u00e5 kan en af faktorerne v\u00e6re nul. Matematisk vil vi skrive<\/p>\n\n\n\n

\\(a\\cdot b=0 \\Rightarrow a=0 \\lor b=0\\)<\/p>\n\n\n\n

I dette tilf\u00e6lde har vi dog ikke et produkt men summen af to led (adskildt af +). Vi kan dog se at der i begge led indg\u00e5r x, hvorfor vi kan s\u00e6tte x uden for parentes. Hvis vi g\u00f8r dette f\u00e5r vi f\u00f8lgende.<\/p>\n\n\n\n

(1) <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}2x^2+6x&=0\\2\cdot x\cdot x+6\cdot x&= 0\\x\cdot(2\cdot x\cdot{\color{red} \cancel{x}}+6\cdot{\color{red} \cancel{x}})&=0\\x\cdot(2x+6)&=0\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vi har derfor via nulreglen at enten s\u00e5 er x=0 eller ogs\u00e5 s\u00e5 er 2x+6=0. Vi kan l\u00f8se for det sidste udtryk og vi f\u00e5r at <\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}2x+6&=0\\2x&=-6\\x&=\frac{-6}{2}=-3\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Vi har derfor at funktionen \\(f(x)=2x^2+6x\\) har s\u00e6rringspunkterne (-3,0) og (0,0): Hvis vi tegner funktionen i et koordinatsystem kan vi ogs\u00e5 se at dette netop er sk\u00e6rringspunkterne.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p><\/p>\n\n\n\n

Generelt vil der g\u00e6lde at for en andengradsfunktion af typen \\(f(x)=ax^2+bx\\) s\u00e5 vil l\u00f8sningen v\u00e6re<\/p>\n\n\n\n

\\(x=0 \\lor x=\\frac{-b}{a}\\)<\/p>\n\n\n\n

Andengradsfunktioner af typen \\(f(x)=ax^2+ba+c\\)<\/h2>\n\n\n\n

Vi skal nu til at se p\u00e5 hvorledes vi kan finde nulpunkter for en general andengradsfunktion p\u00e5 formen \\(f(x)=ax^2+bx+c\\). For de to foreg\u00e5ende typer kunne vi isolere x relativt nemt. Dette kan dog ikke i dette tilf\u00e6lde. Vi kan godt men det er lidt besv\u00e6rligt. S\u00e5 vi er ikke interesseret i at skulle g\u00f8re dette hver gang. Derfor g\u00f8res det en gang med det generelle udtryk hvorved vi for en l\u00f8sning for x udtrykt med koefficienterne a, b og c. L\u00f8sningen til ligningen <\/p>\n\n\n\n

\\(ax^2+bx+c=0\\)<\/p>\n\n\n\n

er <\/p>\n\n\n\n

\\(x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}\\), hvor \\(D=b^2-4ac\\)<\/p>\n\n\n\n

Diskriminanten D giver os en mulighed for at unders\u00f8ge om der er l\u00f8sninger til den givne andengradsligning ved at vi i formlen skal tage kvadratroden af diskriminanten. Derved vil der ikke v\u00e6re nogle l\u00f8sninger hvis diskriminanten er negativ da vi ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Hvis diskriminanten er nul vil der kun v\u00e6re \u00e9n l\u00f8sning da<\/p>\n\n\n\n

\\(\\sqrt{0}=0\\)<\/p>\n\n\n\n

og vi skal s\u00e5 ligge 0 til og tr\u00e6kke 0 fra hvilket er en og samme ting. Til geng\u00e6ld hvis diskriminanten er positiv vil der v\u00e6re to l\u00f8sninger.<\/p>\n\n\n\n

Lad os se p\u00e5 et eksempel. Vi skal finde nulpunkter til funktionen<\/p>\n\n\n\n

\\(f(x)=2x^2-3x+1\\)<\/p>\n\n\n\n

For at finde nulpunkter skal vi s\u00e6tte funktionsv\u00e6rdien til nul.<\/p>\n\n\n\n

\\(2x^2-3x+1=0\\)<\/p>\n\n\n\n

I dette tilf\u00e6lde er a=2, b=-3 og c=1. Vi beregner f\u00f8rst diskriminanten, D.<\/p>\n\n\n\n

\\(D={-3}^2-4\\cdot 2\\cdot 1=9-8=1\\)<\/p>\n\n\n\n

I dette tilf\u00e6lde er diskriminanten positiv og derfor er der 2 l\u00f8sninger. Vi inds\u00e6tter de kendte v\u00e6rdier i formlen<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}x&=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2}\\ &=\frac{3\pm 1}{4}\\ &=\left\{\begin{array}{l}\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}=1\\\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=0,5\end{array}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

og derfor er nulpunkterne (0,5; 0) og (1;0).<\/p>\n\n\n\n

Hvis vi igen pr\u00f8ver at tegne funktionen i et koordinatsystem og ser hvor den sk\u00e6rre x-aksen<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Vi skal her s\u00e5 p\u00e5 hvorledes vi kan bestemme nulpunkter for andengradspolynomier. Nulpunkter (eller r\u00f8dder) er der hvor andengradspolynomiet sk\u00e6rer x-aksen, det vil sige at vi skal unders\u00f8ge hvorn\u00e5r \\(f(x)=0\\). Simple andengradsligninger af typen \\(f(x)=ax^2+c\\) Vi starter med at se p\u00e5 den meste simple af andengradsfunktionerne nemlig \\(f(x)=x^2\\). Hvis vi tegner den f\u00e5r vi f\u00f8lgende […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ub_ctt_via":"","editor_plus_copied_stylings":"{}","_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[33,12,3],"tags":[67],"class_list":["post-3752","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-andengradspolynomium","category-funktioner","category-matematik","tag-hhx"],"featured_image_src":null,"author_info":{"display_name":"Henriksen","author_link":"https:\/\/mxth.dk\/?author=1"},"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3752","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3752"}],"version-history":[{"count":42,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3752\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4492,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3752\/revisions\/4492"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3752"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3752"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3752"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}