{"id":3826,"date":"2025-09-17T10:55:58","date_gmt":"2025-09-17T08:55:58","guid":{"rendered":"https:\/\/mxth.dk\/?p=3826"},"modified":"2026-04-09T22:28:04","modified_gmt":"2026-04-09T20:28:04","slug":"definitions-og-vaerdimaengde-hhx","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mxth.dk\/?p=3826","title":{"rendered":"Definitions- og v\u00e6rdim\u00e6ngde (hhx)"},"content":{"rendered":"\n

N\u00e5r vi i matematikken snakker om en funktion s\u00e5 er det en relation der beskriver en sammenh\u00e6ng mellem to st\u00f8rrelser. En uafh\u00e6ngige variabel<\/em> vi som regel kalder for x<\/strong> og en afh\u00e6ngig variabel<\/em> vi kalder for y<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Man kan t\u00e6nke p\u00e5 en funktion som en maskine som tager en m\u00e6ngde af tal, x-v\u00e6rdierne, som input og overs\u00e6tter dem til en ny m\u00e6ngde af tal, y-v\u00e6rdierne, som output.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Vi kalder x-v\u00e6rdierne for den uafh\u00e6ngige variabel da vi selv kan bestemme hvilke tal vi putter ind i maskinen, mens y-v\u00e6rdierne er afh\u00e6ngige af hvilken maskine vi v\u00e6lger og vi bestemmer derfor ikke hvad der kommer ud.<\/p>\n\n\n\n

For funktioner g\u00e6lder der det specielle at vi til hver x-v\u00e6rdi vi putter ind i maskinen kun m\u00e5 have en og kun en unik y-v\u00e6rdi der kommer ud. Dette g\u00e6lder ikke for alle relationer i matematikken er er specielle for funktioner.<\/p>\n\n\n\n

\n

Definition<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En funktion beskriver en regel, hvor hver v\u00e6rdi af x knyttes sammen med pr\u00e6cis \u00e9n v\u00e6rdi af y. Vi siger, at y afh\u00e6nger entydigt af x, og skriver <\/p>\n\n\n\n

\\(y=f(x)\\)<\/p>\n\n\n\n

der l\u00e6ses som \u201cy er funktionsv\u00e6rdien til x\u201d eller blot \u201cf af x\u201d.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

N\u00e5r vi siger, at vi frit kan v\u00e6lge hvilket x vi putter ind i maskinen s\u00e5 er det ikke helt korrekt. Det er rigtigt at vi frit kan v\u00e6lge en x-v\u00e6rdi fra den talm\u00e6ngde vi kan putte ind i maskinen. Men er ikke n\u00f8dvendigvis alle tal vi m\u00e5 putte ind i maskinen. Der kan v\u00e6re en begr\u00e6nsning. Lige som der er en begr\u00e6nsning p\u00e5, hvilke tal vi kan f\u00e5 ud af maskinen. Det vil sige, at de to m\u00e6ngder ikke n\u00f8dvendigvis indeholder alle reelle tal. De to m\u00e6ngder kalder vi for henholdsvis definitionsm\u00e6ngden<\/strong>, for alle de x-v\u00e6rdier<\/em> vi kan s\u00e6tte ind i funktionen, og v\u00e6rdim\u00e6ngden<\/strong>, for alle de y-v\u00e6rdier<\/em> vi kan f\u00e5 ud af funktionen.<\/p>\n\n\n

Definitionsm\u00e6ngde<\/h2>\n\n\n

Definitionsm\u00e6ngden er den m\u00e6ngde af tal som vi m\u00e5 s\u00e6tte ind i funktionen. Ofte er er alle de reelle tal (som matematisk noteres som \\(\\mathbb{R}\\)) som er alle de tal som I umiddelbart lige kan komme i tanke om p\u00e5 nuv\u00e6rrende tidspunkt. Vi betegner definitionsm\u00e6ngden som \\(Dm\\) og hvis det er definitionsm\u00e6ngden for en specifik funktion \\(f(x)\\) s\u00e5 skriver vi \\(Dm(f)\\). Definitionsm\u00e6ngden vil altid v\u00e6re skrevet op som en m\u00e6ngde, enten ved brug af symbolerne for m\u00e6ngder, s\u00e5 som naturlige tal (\\(\\mathbb{N}\\)), hele tal (\\(\\mathbb{Z}\\)), reelle tal (\\(\\mathbb{R}\\)), eller ved brug af intervaller. <\/p>\n\n\n\n

Der er dog nogle gange, hvor der er tal vi ikke m\u00e5 s\u00e6tte ind i funktionen og der derfor er en begr\u00e6nsning p\u00e5 definitionsm\u00e6ngden. For at se p\u00e5 dette vil vi lige se p\u00e5 et par eksempler.<\/p>\n\n\n\n

Lad os se p\u00e5 fuktionen<\/p>\n\n\n\n

\\(f(x)=\\frac{1}{x}\\).<\/p>\n\n\n\n

Her kan vi se at det giver et problem hvis \\(x=0\\) da vi s\u00e5 skal dividere med nul, hvilket vi ikke m\u00e5. Derfor kan vi ikke s\u00e6tte alle tal ind i funktionen. Vi kan s\u00e6tte alle tal ind, p\u00e5 n\u00e6r nul. Dette vil vi skrive som<\/p>\n\n\n\n

\\(Dm(f)=\\mathbb{R}\\backslash\\{0\\}\\)<\/p>\n\n\n\n

hvor den omvendte skr\u00e5streg (backslash) betyder \u201cbortset fra\u201d og derfor l\u00e6ses det som \u201cdefinitionsm\u00e6ngden for funktionen f er alle reelle tal p\u00e5n\u00e6r nul\u201d. Man ville ogs\u00e5 kunne p\u00e5skrive definitionsm\u00e6ngden om et interval <\/p>\n\n\n\n

\\(Dm(f)=]-\\infty,0[\\cup]0,\\infty[\\) <\/p>\n\n\n\n

hvor tegnet \\(\\cup\\) betyder foreningsm\u00e6ngden (og skal forst\u00e5es som at vi har b\u00e5de den ene m\u00e6ngde og den anden).<\/p>\n\n\n\n

Til sidst ville man kunne se definitionsm\u00e6ngden v\u00e6re skrevet som<\/p>\n\n\n\n

\\(Dm(f)=\\{x\\in\\mathbb{R}|x\\neq 0\\}\\)<\/p>\n\n\n\n

som l\u00e6ses \u201cdefinitionsm\u00e6ngden af funktionen f er m\u00e6ngden af x som tilh\u00f8rer de reelle tal, hvor x ikke er nul\u201d<\/p>\n\n\n\n

Lad os se p\u00e5 et eksempel til. Hvis vi har funktionen <\/p>\n\n\n\n

\\(g(x)=\\sqrt{x}\\)<\/p>\n\n\n\n

s\u00e5 kan vi se at vi ikke kan have at x er et negativt tal da vi ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Vi har derfor at definitionsm\u00e6ngden er <\/p>\n\n\n\n

\\(Dm(g)=\\mathbb{R}_0\\)<\/p>\n\n\n\n

hvor \\(\\mathbb{R}_0\\) angiver alle positive reelle tal inklusiv nul. Eller man kunne skrive det som et interval<\/p>\n\n\n\n

\\(Dm(g)=[0;\\infty[\\) <\/p>\n\n\n\n

Hvis vi ser p\u00e5 en line\u00e6r funktion s\u00e5 som<\/p>\n\n\n\n

\\(h(x)=3x-7\\)<\/p>\n\n\n\n

s\u00e5 vil definitionsm\u00e6ngden v\u00e6re alle reelle tal da der ikke er nogle tal vi ikke p\u00e5 gange med 3 og bagefter tr\u00e6kke 7 fra, vi har derfor at <\/p>\n\n\n\n

\\(Dm(h)=\\mathbb{R}\\).<\/p>\n\n\n\n

Det betyder dog ikke at vi for en line\u00e6r funktion ikke kan have en begr\u00e6nsning p\u00e5 definitionsm\u00e6ngden. Hvis vi har at den beskriver oms\u00e6tningen p\u00e5 en vare s\u00e5 vil x-v\u00e6rdien v\u00e6re antallet af vare og da vi ikke kan have <\/p>\n\n\n

V\u00e6rdim\u00e6ngde<\/h2>\n\n\n

Hvor definitionsm\u00e6ngden er alle de tal vi m\u00e5 s\u00e6tte ind i funktionen s\u00e5 er v\u00e6rdim\u00e6ngden alle de v\u00e6rdier vi kan f\u00e5 ud af en funktion. Vi betegner v\u00e6rdim\u00e6ngden som \\(Vm\\) og skriver \\(Vm(f)\\) for en specifik funktion.<\/p>\n\n\n\n

Hvor vi for definitionsm\u00e6ngden kunne se p\u00e5 forskriften for funktionen og vurdere hvad definitionsm\u00e6ngden for funktionen er, s\u00e5 er det ofte nemmest at kigge p\u00e5 grafen for funktionen for at finde v\u00e6rdim\u00e6ngden. Det kan dog godt v\u00e6re n\u00f8dvendigt at beregne for at f\u00e5 specifikke v\u00e6rdier, men det tages op n\u00e5r vi n\u00e5r til de givne funktioner.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n