Vi skal se p\u00e5 normalfordelingen og hvorfor t\u00e6thedsfunktionen for normalfordelingen har formen<\/p>\n\n\n\n
$$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}}\\cdot \\mathrm{e}^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}$$<\/p>\n\n\n\n
Vi starter med at se om vi kan finde en m\u00e5de at lave klokkeformen p\u00e5.<\/p>\n\n\n\n
Hvis vi ser p\u00e5 h\u00f8jresiden s\u00e5 er en aftagende og kunne, hvis man ser bort fra inde omkring y-aksen, godt ligne en eksponentielt aftagende funktion.<\/p>\n\n\n\n
$$f(x)=\\mathrm{e}^{-x^2}$$<\/p>\n\n\n\n
Den passer dog ikke p\u00e5 venstre side af y-aksen fordi eksponenten bliver positiv og derfor vokser f(x) n\u00e5r vi g\u00e5r mod h\u00f8jre. Det kan vi dog godt g\u00f8re noget ved, da vi kan \u201clave x-v\u00e6rdierne positive\u201d ved at kvadrere dem. Vi for nu<\/p>\n\n\n\n
$$f(x)=\\mathrm{e}^{-x^2}$$<\/p>\n\n\n\n
Nu har vi f\u00e5et klokkeformen men den ligner stadigv\u00e6k ikke helt.<\/p>\n\n\n\n
Vi starter med at huske, at en t\u00e6thedsfunktion fort\u00e6ller hvad frekvensen (eller sandsynligheden) er for en given x-v\u00e6rdi.hvis alle sandsynlighederne ligges sammen skulle vi gerne f\u00e5r 100% eller 1 som vi ofte i sandsynlighedsregningen hellere vil sige. Det vil sige at for en kontinuert funktion skal arealet under kurven v\u00e6re 1.<\/p>\n\n\n\n
Hvis vi tager integralet af t\u00e6thedspunktionen fra $-\\infty$ til $\\infty$ s\u00e5 f\u00e5r vi<\/p>\n\n\n\n
$$\\int^\\infty_{-\\infty} \\mathrm{e}^{-x^2}=1,77245385091$$<\/p>\n\n\n\n
Det er ikke lige til at vide med dette tal svare til $\\sqrt{\\pi}$.<\/p>\n\n\n\n
Hvis vi gerne vil have at arealet er 1 s\u00e5 normalisere vi ved at dividere med $\\sqrt{\\pi}$ og derfor har vi at t\u00e6thedsfunktionen bliver<\/p>\n\n\n\n
$$f(x)=\\frac{\\mathrm{e}^{-x^2}}{\\sqrt{\\pi}}$$<\/p>\n\n\n\n
Denne funktion har en klokke form og har et areal under kurven p\u00e5 1 s\u00e5 den opfylder mange af de kriterier vi har for at det er en normalfordelingskurve. Men, denne funktion har ikke en varians der svare til kvadratet p\u00e5 spredningen. Vi skal derfor s\u00f8rge for at vores funktion har en specifik spredning. Vi skal derfor introducere spredningen.<\/p>\n\n\n\n
Vi tager derfor og regner variansen p\u00e5 funktionen. Til at g\u00f8re dette introducere vi en konstant i potensen. Man kan sige at den heletiden har v\u00e6ret der, den har bare v\u00e6ret 1.<\/p>\n\n\n\n
Vi arbejder derfor videre med<\/p>\n\n\n\n
$$f(x)=\\frac{\\mathrm{e}^{-ax^2}}{\\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}}$$<\/p>\n\n\n\n\n\n
Det kan vises at<\/p>\n\n\n\n
$$Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2$$<\/p>\n\n\n\n
hvor $E[X]=\\mu$, alts\u00e5 middelv\u00e6rdien.<\/p>\n\n\n\n
Vi kan huske fra statestikken at middelv\u00e6rdien kan beregnes som<\/p>\n\n\n\n
$$\\mu=\\Sigma_{i=1}^n x_i\\cdot p(x_i)$$<\/p>\n\n\n\n
for diskret data. For kontinuert data som vi har her bliver summerne til integraler og vi har derfor at<\/p>\n\n\n\n
$$E[X]=\\int_{-\\infty}^\\infty x\\cdot f(x) dx$$<\/p>\n\n\n\n
hvor $f(x)$ er t\u00e6thedspunktionen som netop fort\u00e6ller hvad sandsynligheden for h\u00e6ndelsen x er. Da funktionen $x$ er en ulige funktion, mens $f(x)$ er en lige funktion s\u00e5 vil produktet mellem dem v\u00e6re en ulige funktion og derved vil integralet, da b\u00e5de $x$ og $f(x)$ er symmetrisk omkring y-aksen, v\u00e6re nul. Vi har derfor at<\/p>\n\n\n\n
$$E[X]=\\int_{-\\infty}^\\infty x\\cdot f(x) dx=0$$<\/p>\n\n\n\n
Derved bliver variansen forenklet til<\/p>\n\n\n\n
$$Var(X)=E[X^2]=\\int_{-\\infty}^\\infty x^2f(x)dx$$<\/p>\n\n\n\n
Inds\u00e6tte t\u00e6thedsfunktionen i udtrykket f\u00e5es<\/p>\n\n\n\n
$$Var(X) = E[X^2] = \\int_{-\\infty}^\\infty x^2 \\cdot \\frac{\\mathrm{e}^{-ax^2}}{\\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}} dx = \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}}\\cdot \\int_{-\\infty}^\\infty x^2 \\cdot \\mathrm{e}^{-ax^2} dx$$<\/p>\n\n\n\n
Vi ved allerede at<\/p>\n\n\n\n
$$\\int_{-\\infty}^\\infty \\mathrm{e}^{-ax^2} dx = \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}$$<\/p>\n\n\n\n
Vi differentiere nu begge sider med hensn til a<\/p>\n\n\n\n
$$\\frac{d}{da} \\int_{-\\infty}^\\infty \\mathrm{e}^{-ax^2} dx = \\frac{d}{da} \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}$$<\/p>\n\n\n\n
P\u00e5 venstresiden har vi lov til at differentiere under integralet og p\u00e5 h\u00f8jresiden omskriver vi til potenser. Dette giver derfor<\/p>\n\n\n\n
$$\\int_{-\\infty}^\\infty \\frac{d}{da} \\mathrm{e}^{-ax^2} dx = \\frac{d}{da} \\pi^\\frac{1}{2}\\cdot a^{-\\frac{1}{2}}$$<\/p>\n\n\n\n
Differentialet p\u00e5 venstresiden er en sammensat funktion. Hvis vi udregner differentialerne p\u00e5 begge sider f\u00e5es<\/p>\n\n\n\n
$$\\int_{-\\infty}^\\infty (-x^2)\\cdot \\mathrm{e}^{-ax^2}dx = \\pi^\\frac{1}{2}\\cdot (-\\frac{1}{2})\\cdot a^{-\\frac{3}{2}}$$<\/p>\n\n\n\n
H\u00f8jresiden er netop integralet i udtrykket for variansen. Dette dette erstattes med h\u00f8jresiden har vi at<\/p>\n\n\n\n
$$Var(X) = E[X^2] = \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}}\\cdot\\pi^\\frac{1}{2}\\cdot (-\\frac{1}{2})\\cdot a^{-\\frac{3}{2}} = \\frac{1}{2}a^\\frac{1}{2}a^{-\\frac{3}{2}}=\\frac{1}{2}a^{-1}=\\frac{1}{2a}$$<\/p>\n\n\n\n
Da vi har at variansen er spredningen kvadreret s\u00e5 har vi ogs\u00e5 at<\/p>\n\n\n\n
$$\\frac{1}{2a}=\\sigma^2$$<\/p>\n\n\n\n
Vi isolere for a<\/p>\n\n\n\n
$$a=\\frac{1}{2\\sigma^2}$$<\/p>\n\n\n\n
Inds\u00e6ttes det i vores udtryk for t\u00e6thedsfunktionen for vi at<\/p>\n\n\n\n
$$f(x)=\\frac{\\mathrm{e}^{-\\frac{1}{2\\sigma^2}x^2}}{\\sqrt{\\frac{\\pi}{\\frac{1}{2\\sigma^2}}}}=\\frac{\\mathrm{e}^{-\\frac{x^2}{2\\sigma^2}}}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}}=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}}\\cdot \\mathrm{e}^{-\\frac{x^2}{2\\sigma^2}}$$<\/p>\n\n\n\n
Dette er netop det udtryk som vi gerne ville finde lige p\u00e5 n\u00e6r at det ligger centreret omkring y-aksen. Det vil sige at middelv\u00e6rdien for funktionen er 0. Hvis vi gerne vil have at middelv\u00e6rdien af t\u00e6thedspunktionen er anderledes skal vi forskyde den langs x-aksen. Dette g\u00f8res ved at tr\u00e6kke middelv\u00e6rdien $\\mu$ fra x hvilket giver<\/p>\n\n\n\n
$$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma^2}}\\cdot \\mathrm{e}^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}$$<\/p>\n\n\n\n
Som netop beskriver en t\u00e6thedsfunktion der er klokkeformet, har en middelv\u00e6rdi p\u00e5 $\\mu$, en spredning p\u00e5 $\\sigma$ og et areal under kurven p\u00e5 1.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Normalfordelingen beskrives ved en t\u00e6thedsfunktion, der har en klokkeform. T\u00e6thedsfunktionen, f(x), normaliseres for at sikre, at arealet under kurven er 1. Varians og middelv\u00e6rdi introduceres for at forklare spredning. Resultatet er en funktion, der repr\u00e6senterer normalfordeling med parametre \u03bc og \u03c3\u00b2.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ub_ctt_via":"","editor_plus_copied_stylings":"{}","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3,69],"tags":[67],"class_list":["post-3953","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematik","category-normalfordelingen","tag-hhx"],"featured_image_src":null,"author_info":{"display_name":"Henriksen","author_link":"https:\/\/mxth.dk\/?author=1"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3953","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3953"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3953\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4021,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3953\/revisions\/4021"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3953"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3953"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3953"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}