{"id":4013,"date":"2026-03-10T22:55:01","date_gmt":"2026-03-10T21:55:01","guid":{"rendered":"https:\/\/mxth.dk\/?p=4013"},"modified":"2026-04-09T22:37:47","modified_gmt":"2026-04-09T20:37:47","slug":"t-fordelingen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mxth.dk\/?p=4013","title":{"rendered":"T-fordelingen"},"content":{"rendered":"\n

N\u00e5r vi har en normalfordeling, vil den v\u00e6re symmetrisk omkring middelv\u00e6rdien, $\\mu$, og v\u00e6re fordelt med en standardafvigelse (spredning), $\\sigma$. Dette vil vi matematisk kunne skrive som<\/p>\n\n\n\n

$$X\\sim N(\\mu,\\sigma)$$<\/p>\n\n\n\n

hvor $X$ er den stokastiske variabel, der er normalfordelt, og $\\sim$ betyder \u201cer fordelt som\u201d, og $N$ angiver, at der er tale om en normalfordeling.<\/p>\n\n\n\n

Vi kan omdanne alle normalfordelinger til en normalfordeling, hvor middelv\u00e6rdien er nul og standardafvigelsen er \u00e9n. Denne fordeling kaldes for en standardnormalfordeling<\/p>\n\n\n\n

$$X\\sim N(0,1)$$<\/p>\n\n\n\n

Vi kan omdanne en vilk\u00e5rlig normalfordeling til en standardnormalfordeling ved at lave en z-transformation<\/p>\n\n\n\n

$$Z=\\dfrac{X-\\mu}{\\sigma}$$<\/p>\n\n\n\n

hvor $Z\\sim N(0,1)$.<\/p>\n\n\n\n

Dette g\u00e6lder for en population. Hvis vi i stedet arbejder med en stikpr\u00f8ve<\/strong>, s\u00e5 vil der v\u00e6re usikkerhed, hvilket betyder, at standardafvigelsen er st\u00f8rre, og t\u00e6thedsfunktionen er bredere. Hvis vi skal kunne bruge t\u00e6thedsfunktionen til at sige noget om vores data, skal vi alts\u00e5 g\u00f8re den lidt bredere for at afspejle denne usikkerhed. Denne t\u00e6thedsfunktion kaldes for tfordelingen.<\/p>\n\n\n\n

Hvis vi har en stikpr\u00f8ve af st\u00f8rrelsen $n$, s\u00e5 vil vi v\u00e6re mere sikker p\u00e5 vores resultat, jo st\u00f8rre vi g\u00f8r stikpr\u00f8ven, det vil sige, hvis vi g\u00f8r n<\/em> st\u00f8rre, fordi s\u00e5 vil t\u00e6thedsfunktionen blive smallere.<\/p>\n\n\n\n

Dette afspejles i, at t\u00e6thedsfunktionen er afh\u00e6ngig af frihedsgraden, som blev introduceret i 2.g. men som vi faktisk allerede i 1.g. havde med i vores formler for variansen.<\/p>\n\n\n\n

Hvis I kan huske, s\u00e5 definerede vi formlen for variansen for en population som<\/p>\n\n\n\n

$$Var(X)=\\dfrac{\\sum\\limits_{i=1}^n (x_i-\\mu)^2}{n}$$<\/p>\n\n\n\n

mens at vi for en stikpr\u00f8ve havde<\/p>\n\n\n\n

$$Var(X)=\\dfrac{\\sum\\limits_{i=1}^n (x_i-\\bar{x})^2}{n-1}$$<\/p>\n\n\n\n

At vi dividerer med $n-1$ g\u00f8r, at variansen bliver lidt st\u00f8rre, og at vi derfor f\u00e5r lidt st\u00f8rre usikkerhed. De $n-1$ kaldes for frihedsgraden, fordi de angiver, hvor mange \u201cpladser\u201d der er frie.<\/p>\n\n\n\n

Hvis vi har fem pladser og fem elever, s\u00e5 vil vi p\u00e5 f\u00f8rste plads have valgfrihed mellem alle fem elever. P\u00e5 den anden plads vil vi have valgfrihed mellem fire elever, p\u00e5 den tredje plads vil vi have valgfrihed mellem tre elever, og p\u00e5 den fjerde plads vil der v\u00e6re valgfrihed mellem to elever. Men n\u00e5r f\u00f8rst vi har valgt, hvem der skal sidde p\u00e5 den fjerde plads, s\u00e5 er det ogs\u00e5 givet, hvem der skal sidde p\u00e5 den sidste plads. Den sidste plads er derfor ikke valgfri. Vi har derfor kun valgfrihed p\u00e5 fire af pladserne, \u00e9n mindre end det antal pladser, vi har. Hvis vi har $n$ pladser, s\u00e5 vil der v\u00e6re valgfrihed p\u00e5 $n-1$ af dem, og dette kaldes for frihedsgraden.<\/p>\n\n\n\n

Vi kan ogs\u00e5 se, at n\u00e5r $n$ bliver st\u00f8rre, s\u00e5 vil variansen for stikpr\u00f8ven n\u00e6rme sig variansen for populationen, da der for $n-1$ ikke er s\u00e5 stor forskel i forhold til $n$. Om vi dividerer med 100 eller 99 g\u00f8r ikke den store forskel, eller om det er 1.000 eller 999 g\u00f8r endnu mindre forskel.<\/p>\n\n\n\n

Det samme g\u00f8r sig g\u00e6ldende for t\u00e6thedsfunktionen. Hvis vores stikpr\u00f8ve er meget lille, s\u00e5 vil t\u00e6thedsfunktionen skulle v\u00e6re bred, men som vi g\u00f8r stikpr\u00f8ven st\u00f8rre, s\u00e5 vil t\u00e6thedsfunktionen \u00e6ndre sig og blive smallere.<\/p>\n\n\n\n

T\u00e6thedsfunktionen for t-fordelingen har en middelv\u00e6rdi p\u00e5 nul, ligesom standardnormalfordelingen, men vil v\u00e6re lidt bredere og er afh\u00e6ngig af antallet af frihedsgrader. Hvis vi plotter standardnormalfordelingen sammen med t-fordelingen med en frihedsgrad p\u00e5 1, kan vi se, at de minder om hinanden, men at t-fordelingen er bredere.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Det ses, at t\u00e6thedsfunktionen for t-fordelingen er bredere og lavere. Hvis vi tager og \u00e6ndrer p\u00e5 frihedsgraden ved at g\u00f8re stikpr\u00f8ven st\u00f8rre, s\u00e5 vil vi have, at spredningen bliver mindre, vi bliver mere sikre, og derfor vil vores t-fordeling g\u00e5 hen og ligne standardnormalfordelingen.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En normalfordeling er symmetrisk omkring middelv\u00e6rdien og kan omdannes til en standardnormalfordeling ved en z-transformation. For stikpr\u00f8ver er usikkerheden st\u00f8rre, hvilket kr\u00e6ver en t-fordeling med bredere t\u00e6thedsfunktion. Variansen for stikpr\u00f8ver og populationer adskiller sig ved frihedsgraderne, der p\u00e5virker t\u00e6thedsfunktionen.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ub_ctt_via":"","editor_plus_copied_stylings":"{}","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3,69],"tags":[67],"class_list":["post-4013","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematik","category-normalfordelingen","tag-hhx"],"featured_image_src":null,"author_info":{"display_name":"Henriksen","author_link":"https:\/\/mxth.dk\/?author=1"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4013","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4013"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4013\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4020,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4013\/revisions\/4020"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4013"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4013"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4013"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}