{"id":4361,"date":"2026-04-22T10:54:54","date_gmt":"2026-04-22T08:54:54","guid":{"rendered":"https:\/\/mxth.dk\/?p=4361"},"modified":"2026-04-23T11:22:05","modified_gmt":"2026-04-23T09:22:05","slug":"rentebegrebet-i-finansiel-regning","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mxth.dk\/?p=4361","title":{"rendered":"Rentebegrebet i finansiel regning"},"content":{"rendered":"\n

Vi skal her se lidt n\u00e6rmere p\u00e5 rentefoden. I finansiel regning er der en del forskellige begreber der er knyttet til renten. Renten<\/strong> er den pengesum i kroner \u00f8re som man f\u00e5r ved at have pengene i banken, eller skal betale for at have et l\u00e5n, og er bestemt af rentesatsen<\/strong> som angives i procent. N\u00e5r vi dog skal udregne ved at benytte formlerne i finansielregning vil vi i stedet benytte rentefoden<\/strong>, $r$, som er rentesatsen divideret med 100%.<\/p>\n\n\n

For eksempel, hvis vi har 1000 kr. i banken og f\u00e5r 5% i rente s\u00e5 vil rentesatsen v\u00e6re 5%, rentefoden vil v\u00e6re 0,05 og renten vil v\u00e6re 50 kr.<\/p>\n\n\n

For rentesatsen knyttes der to begreber, p\u00e5lydende rentesats<\/strong> (eller nominiel rentesats) og effektiv rentesats<\/strong>. Den p\u00e5lydende rentesats er som oftes en \u00e5rlig rente og forkortes p.a. hvilket st\u00e5r for pro anno (latin for pr. \u00e5r). Hvis renten tilskrives m\u00e5nedlig skal vi for at kunne benytte vores formler finde denne rentesats. Dette g\u00f8res ved at dividere den p\u00e5lydende rente med antallet af termintilskrivninger i l\u00f8bet af et \u00e5r.<\/p>\n\n\n

\n

Lad os sige at vi f\u00e5r en rente p\u00e5 3% p.a. S\u00e5 vil den m\u00e5nedlige rente vi skal benytte v\u00e6re<\/p>\n\n\n\n

\\(r=\\dfrac{3\\%}{12}=0,25\\%\\)<\/p>\n<\/div>\n\n\n

Man vil m\u00e5ske bem\u00e6rke at hvis vi for tilskrevet 0,25% i rente pr. m\u00e5ned s\u00e5 vil der v\u00e6re rente p\u00e5 renterne. Det vil sige, at vi ville f\u00e5 mere tilskrevet i rente om \u00e5ret end de 3%. Den faktiske rente vi f\u00e5r tilskrevet pr. \u00e5r kaldes den effektive rente og bestemmes i dette tilf\u00e6lde som<\/p>\n\n\n\n

\\(i=(1+0,0025)^{12}=0,0304\\)<\/p>\n\n\n\n

Svarende til en rentesats p\u00e5 3,04%.<\/p>\n\n\n\n

Det vil sige, f\u00e5r man en \u00e5rlig p\u00e5lydende rente p\u00e5 3%, men med m\u00e5nedlige rentetilskrivninger, s\u00e5 vil ens opsparing vokse med 3,04% om \u00e5ret.<\/p>\n\n\n\n

Rentefodsbestemmelse<\/h4>\n\n\n\n

N\u00e5r vi snakker kapitalfremskrivning kan det nogle gange v\u00e6re at vi kender hvad slutkapitalen, startkapitalen og antallet af terminer er, men ikke kender rentefoden, \\(r\\).<\/p>\n\n\n\n

I s\u00e5danne tilf\u00e6lde kan vi bestemme rentefoden ved at inds\u00e6tte de givne oplysninger og isolere for \\(r\\). Lad os se p\u00e5 et eksempel<\/p>\n\n\n

\n

Vi for at vide at vi har 22,5 kr. at st\u00e5 p\u00e5 en konto, hvor vi satte 10 kr. ind. Der er g\u00e5et 2 terminer. Hvor stor er rentefoden?<\/p>\n\n\n\n

Vi inds\u00e6tter de kendte st\u00f8rrelser i formlen for kapitalfremskrivning.<\/p>\n\n\n\n

\\(\\begin{align}K_n&=K_0\\cdot(1+r)^n\\\\22,5&=10\\cdot(1+r)^2\\\\\\dfrac{22,5}{10}&=(1+r)^2\\\\2,25&=(1+r)^2\\\\\\sqrt{2,5}&=\\sqrt{(1+r)^2}\\\\1,5&=1+r\\\\1,5-1&=r\\\\r&=0,5\\end{align}\\)<\/p>\n\n\n\n

Det vil sige at rentefoden er 0,5 svarende til en rentesats p\u00e5 50% (det var selvf\u00f8lgelig en matematisk bank, det eneste sted man kan f\u00e5 s\u00e5 h\u00f8je renter).<\/p>\n<\/div>\n\n\n

For at vi ikke skal g\u00f8re dette hver eneste gang at vi skal bestemme rentefoden s\u00e5 tager vi og g\u00f8r det algebraisk ved at isolere r i formlen for kapitalfremskrivning.<\/p>\n\n\n\n

\\(\\begin{align}K_n&=K_0\\cdot(1+r)^n\\\\\\dfrac{K_n}{K_0}&=(1+r)^n\\\\\\sqrt[n]{\\dfrac{K_n}{K_0}}&=\\sqrt[n]{(1+r)^n}=1+r\\\\\\sqrt[n]{\\dfrac{K_n}{K_0}}-1&=r\\\\r&=\\sqrt[n]{\\dfrac{K_n}{K_0}}-1\\end{align}\\)<\/p>\n\n\n\n

Vi har nu en formel hvor vi direkte kan inds\u00e6tte vores oplysninger og s\u00e5 f\u00e5 beregnet rentefoden, uden vi skal igennem hele isoleringen.<\/p>\n\n\n

\n

Hvis vi ser p\u00e5 eksemplet fra f\u00f8r igen s\u00e5 har vi at<\/p>\n\n\n\n

\\(r=\\sqrt[2]{\\dfrac{22,5}{10}}-1=0,5\\)<\/p>\n\n\n\n

alts\u00e5 det samme, men nu skulle vi bare indtaste i en formel og udregne.<\/p>\n<\/div>\n\n\n

Formlen for rentefodsbestemmelse er derfor<\/p>\n\n\n\n

\\(r=\\sqrt[n]{\\dfrac{K_n}{K_0}}-1\\)<\/p>\n\n\n\n

For at bestemme rentefoden skal vi kun kende start- og slutkapitalen sammen med antallet af terminer. Disse siger ikke noget om hvorledes renten har v\u00e6ret over perioden, om det har v\u00e6ret en fast rente eller om renten har varieret. Tilgeng\u00e6ld giver formlen \u00e9n rentefod som svare til hvor meget rentesatsen skulle have v\u00e6ret hvis der fast blev tilskrevet en rente.<\/p>\n\n\n\n

**Billede af tre v\u00e6kstfaser.**<\/p>\n\n\n\n

Vi kunne her beregne hvor meget startkapitalen er vokset inden for den f\u00f8rste periode, derefter hvad den s\u00e5 vokser i den anden periode og s\u00e5 til sidst hvor meget den er vokset i den sidste periode. Nu har vi s\u00e5 hvor meget startkapitalen samlet er vokset til og vi kan nu bruge formlen for rentefodsbestemmelse til at beregne den endelige gennemsnitlige rentefod. Dette virker dog som lidt meget arbejde og derfor ville vi gerne se om ikke vi kan finde en formel som kan beregne det for os.<\/p>\n\n\n\n

Gennemsnitlig rentefod<\/h4>\n\n\n\n

Lad os starte med at se p\u00e5 et lidt mere simpelt eksempel.<\/p>\n\n\n

\n

Lad os se p\u00e5 at vi invistere 1 kr. over tre \u00e5r. Det f\u00f8rste \u00e5r f\u00e5r vi 4% i rente, det andet \u00e5r f\u00e5r vi 2% i rente og det sidste hele 7%. Hvad er den gennemsnitlige rente over de 3 \u00e5r. Hvis vi starter med at beregne slutkapitalen.<\/p>\n\n\n\n

Kapitalfremskrivningsformlen er<\/p>\n\n\n\n

\\(K_n=K_0\\cdot (1+r)^n\\)<\/p>\n\n\n\n

hvor vi har<\/p>\n\n\n\n

\\(K_3=1\\cdot(1+r)^3\\)<\/p>\n\n\n\n

men da renten er forskellig i de tre \u00e5r ganges der med hver af de tre fremskrivningsfaktorer<\/p>\n\n\n\n

\\(K_3=1\\cdot 1,04\\cdot 1,02\\cdot 1,07\\)<\/p>\n\n\n\n

Det vil sige, at<\/p>\n\n\n\n

\\((1+r)^3=1,04\\cdot 1,02\\cdot 1,07\\)<\/p>\n\n\n\n

For at isolere \\(r\\) tages f\u00f8rst kubikroden p\u00e5 begge sider og s\u00e5 tr\u00e6kker vi \u00e9n fra<\/p>\n\n\n\n

\\(\\begin{align}1+r&=\\sqrt[3]{1,04\\cdot 1,02\\cdot 1,07}\\\\r&=\\sqrt[3]{1,04\\cdot1,02\\cdot 1,07}-1\\\\r&=0,043\\end{align}\\)<\/p>\n\n\n\n

og vi kan se at rentesatsen er 4,3%.<\/p>\n<\/div>\n\n\n

Generelt kan vi skrive at den gennemsnitlige rente kan beregnes ved f\u00f8lgende formel<\/p>\n\n\n\n

\\(r=\\sqrt[n]{(1+r_1)\\cdot(1+r_2)\\cdot(1+r_3)\\cdot\u2026\\cdot(1+r_n)}-1\\)<\/p>\n\n\n\n

hvor \\(r_i\\) er rentefoden i den \\(i\\)\u2019te termin \\(i=1,2,3,\u2026,n\\), underordnet at den m\u00e5tte v\u00e6re den samme i flere terminer.<\/p>\n\n\n

\n

Vi har at vi f\u00e5r tilskrevet renter i fem terminer hvor rentesatsen \u00e6ndre sig. Vi starter med at f\u00e5 2% de f\u00f8rste to terminer, s\u00e5 \u00e6ndres rentesatsen til 5% i den tredje termin og i de sidste to terminer er renten faldet til 4%. Hvad er den gennemsnitlige rentefod. Vi benytter formlen for den gennemsnitlige rentefod og f\u00e5r<\/p>\n\n\n\n

\\(r=\\sqrt[5]{(1+0,02)\\cdot1+0,02)\\cdot1+0,05)\\cdot1+0,04)\\cdot1+0,04)}-1=0,0339\\)<\/p>\n\n\n\n

og den gennemsnitlige rentesats er derfor 3,39%<\/p>\n<\/div>\n\n\n

<\/div><\/p>\n\n\n\n

Formler<\/h4>\n\n\n\n

Til at bestemme rentefoden<\/em> n\u00e5r vi kender start- og slutkapitalen samt antallet af terminer benyttes <\/p>\n\n\n\n

\\(r=\\sqrt[n]{\\dfrac{K_n}{K_0}}-1\\)<\/p>\n\n\n\n

Til at bestemme den gennemsnitlige rentefod<\/em> benyttes<\/p>\n\n\n\n

\\(r=\\sqrt[n]{(1+r_1)\\cdot(1+r_2)\\cdot(1+r_3)\\cdot\u2026\\cdot(1+r_n)}-1\\)<\/p>\n\n\n\n

hvor \\(r_i\\) er rentefoden i den \\(i\\)\u2019te termin \\(i=1,2,3,\u2026,n\\), underordnet at den m\u00e5tte v\u00e6re den samme i flere terminer.<\/p>\n\n\n\n

Til at bestemme dem effektive rentefod<\/em> benyttes <\/p>\n\n\n\n

\\(i=(1+\\frac{r}{n})^{n}\\)<\/p>\n\n\n\n

hvor \\(r\\) er den nominielle rentefod og \\(n\\) er antallet af rentetilskrivninger i l\u00f8bet af et \u00e5r.<\/p>\n\n\n\n

Opgaver<\/h4>\n\n\n\n