{"id":4456,"date":"2026-08-16T22:59:44","date_gmt":"2026-08-16T20:59:44","guid":{"rendered":"https:\/\/mxth.dk\/?p=4456"},"modified":"2026-08-16T23:03:01","modified_gmt":"2026-08-16T21:03:01","slug":"andengradsfunktionen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mxth.dk\/?p=4456","title":{"rendered":"Andengradsfunktionen"},"content":{"rendered":"\n

Vi har indtil videre haft om to forskellige funktioner. Nemlig line\u00e6re funktioner og eksponentielle funktioner. Vi skal nu se p\u00e5 andengradsfunktionen (aka andengradspolynomium aka parabel, k\u00e6rt barn har mange navne). <\/p>\n\n\n\n

Det kan v\u00e6re du allerede har h\u00f8rt om den, og i det tilf\u00e6lde s\u00e5 er dette blot et velkendt m\u00f8de med en gammel ven. I tilf\u00e6lde af at du ikke kender til funtionstypen s\u00e5 skal vi nu til at se p\u00e5 hvorledes s\u00e5danne en funktion nu ser ud.<\/p>\n\n\n\n

Helt generelt vil vi skrive udtrykket for funktionen som \\(f(x)=ax^2+bx+c\\) hvor $a\u22600$ da vi ellers ikke har et led hvor x-v\u00e6rdien er kvadreret og derved ikke har en andengradsfunktion men derimod den velkendte line\u00e6re funktion. <\/p>\n\n\n\n

Vi vil starte med at se p\u00e5 den mest simple af andengradsfunktionerne, nemlig $f(x)=x^2$. Hvis vi gerne vil finde ud af hvorledes den ser ud kan vi udregne nogle funktionsv\u00e6rdier (y-v\u00e6rdier) ved at udv\u00e6lge nogle x-v\u00e6rdier. Hvis vi v\u00e6lger de hele tal i intervaller $[-4,4]$ kan vi opstille f\u00f8lgende sildeben<\/p>\n\n\n\n

x<\/td>-4<\/td>-3<\/td>-2<\/td>-1<\/td>0<\/td>1<\/td>2<\/td>3<\/td>4<\/td><\/tr>
y<\/td>16<\/td>9<\/td>4<\/td>1<\/td>0<\/td>1<\/td>4<\/td>9<\/td>16<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Alle parabler er ens, man kunne sige at der kun er \u00e9n sand parabel (men mere om det p\u00e5 et andet tidspunkt), selvom de ser forskellige ud. Hvorledes formen og hvor den ligger i koordinatsystemet styres af de tre koefficienter $a$, $b$ og $c$. Vi vil se p\u00e5 dem en efter en men lad os starte med $a$.<\/p>\n\n\n

Koefficienten a\u2019s betydning for formen<\/h2>\n\n\n

Koefficienten a \u00e6ndre p\u00e5 formen af parablen. Men det er nemmest at se ved at se p\u00e5 nogle eksempler.<\/p>\n\n\n\n

Lad os se p\u00e5 fire paraboler af formen $f(x)=ax^2$, hvor $a=\\{3,1\/3,-2,-1\/4\\}$.\u00a0<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Her kan vi se at hvis a bliver st\u00f8rre (:den bl\u00e5 graf) vil grafen blive smallere, men hvis a bliver mindre (den gr\u00f8nne graf) vil grafen blive bredere. For b\u00e5de den bl\u00e5 og den gr\u00f8nne graf er koefficienten positiv. Det ses her at grenene p\u00e5 kurven plejer opad. Man bruger ofter i folkeskolen at parablen er glad. I gymnasiet kan vi godt lide at bruge fagord og her siger vi at funktionen er konVeks. Her er det brugt et stort V da det minder om hvordan kurven ser ud og er kun didaktisk da det selvf\u00f8lgelig skrives med sm\u00e5t. Hvis koefficienten derimod er negation som for den r\u00f8de og orange kurve kan vi se at grenene peger nedad. Her bruger man ofte at parablen er sur, men her siger vi at funktionen er konkAv. Igen skrives det selvf\u00f8lgelig med lille a og g\u00f8res for at huske p\u00e5 at for en konkav funktion peger grenene nedad.<\/p>\n\n\n\n

Vi kan nu \u00e6ndre p\u00e5 formen, men vil ogs\u00e5 gerne kunne flytte p\u00e5 den. Dette g\u00f8res med koefficienterne $b$ og $c$. Lad os starte med $c$ da den er den nemmeste af de to.<\/p>\n\n\n

Koefficienten c\u2019s betydning for placeringen<\/h2>\n\n\n

Koefficienten $c$ ligges til og \u00e6ndre derfor p\u00e5 funktionsv\u00e6rderne og vil enten ligge noget til eller tr\u00e6kke fra. Vi set at for v\u00e6rdierne $c=\\{-5,-3,-1,1,3,5\\}$.\u00a0<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Det ses at koefficienten $c$ flytter funktionen op og ned, an p\u00e5 fortegnet.\u00a0<\/p>\n\n\n\n

S\u00e5 vi kan nu flytte funktionen op eller ned og g\u00f8re den bredere eller smallere med koefficienterne $a$ og $c$. Inden vi kigger p\u00e5 koefficienten $b$ ser vi f\u00f8rst p\u00e5 hvorledes vi kan flytte funktionen til h\u00f8jre eller venstre.<\/p>\n\n\n

Hvordan funktionen flyttes horisontalt<\/h2>\n\n\n

Vi har nu set hvorledes funktionen kan flyttes vertikalt, alts\u00e5 op og ned. Nu skal vi se hvorledes vi kan flytte funktionen til h\u00f8jre og venstre. For at flytte funktionen s\u00e5 symmetriaksen (skal huske at n\u00e6vne tidligere om symmetriaksen for parablen) fx ligger ved $x=2$ skal vi egentlig sp\u00f8rge hvis jeg v\u00e6lger en x-v\u00e6rdi p\u00e5 2 men toppunktet skal ligge i $(2,0)$ hvad skal der st\u00e5 p\u00e5 $x$ i funktionen. Vi ved at funktionsv\u00e6rdien skal v\u00e6re $0$ og vi har at vi v\u00e6lger en x-v\u00e6rdi p\u00e5 $2$. Vi har derfor at\u00a0<\/p>\n\n\n\n

$2+q\u200e\u2009=\u20090$<\/p>\n\n\n\n

hvilket giver at $q=-2$. Det vil sige, at hvis vi skriver<\/p>\n\n\n\n

$f(x)=(x-2)^2$<\/p>\n\n\n\n

s\u00e5 har vi flyttet funktionen s\u00e5 dens symmetriakse ligger ved $x=2$.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Generelt kan vi skrive at<\/p>\n\n\n\n

$f(x)=(x+p)^2$<\/p>\n\n\n\n

flytter funktionen ud til $-p$.<\/p>\n\n\n\n

Vi kan omskrive dette udtryk, ved brug af en kvadrats\u00e6tning.<\/p>\n\n\n\n

$f(x)=x^2+2px+p^2$<\/p>\n\n\n\n

Vi ville kunne se p\u00e5 denne som en andengradsfunktion hvor $b=2p$ og $p^2$ er $c$.<\/p>\n\n\n\n

Hvis vi gerne vil have det p\u00e5 formen $f(x)=x^2 +bx$ s\u00e5 skal vi flytte $p^2$ over p\u00e5 den anden side. S\u00e5 vi har at $f(x)-p^2=x^2+2px$ og derfor vil vi flytte parablen l\u00e6ngere ned, hvis vi kun tilf\u00f8jer et $bx$ til vores standard andengradsfunktion.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Vi har indtil videre haft om to forskellige funktioner. Nemlig line\u00e6re funktioner og eksponentielle funktioner. Vi skal nu se p\u00e5 andengradsfunktionen (aka andengradspolynomium aka parabel, k\u00e6rt barn har mange navne).  Det kan v\u00e6re du allerede har h\u00f8rt om den, og i det tilf\u00e6lde s\u00e5 er dette blot et velkendt m\u00f8de med en gammel ven. I […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ub_ctt_via":"","editor_plus_copied_stylings":"{}","_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[33,12,41,40,3,1],"tags":[67,74],"class_list":["post-4456","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-andengradspolynomium","category-funktioner","category-hhx","category-htx","category-matematik","category-uncategorized","tag-hhx","tag-htx"],"featured_image_src":null,"author_info":{"display_name":"Henriksen","author_link":"https:\/\/mxth.dk\/?author=1"},"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4456","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4456"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4456\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4466,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4456\/revisions\/4466"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4456"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4456"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mxth.dk\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4456"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}