Introduktion til differentialligninger
\(y’=f(x)\)
Bestem den fuldstændige løsning til følgende differentialligning \(\frac{d}{dx}f=4\cdot\sin(x)\).
Bestem en løsning til følgende ligninger og betingelser:
- \(y’=0,\hspace{1cm} y(-2)=3\)
- \(y’=x,\hspace{1cm} y(3)=7\)
- \(y’=4x-3,\hspace{1cm} y(-3)=3\)
Du skal løse følgende differentialligninger
- \(y’=-0,\!5\cdot x^3+0,\!25\cdot x^2-4\cdot x +5\)
- \(3\cdot x^2 + f’(x)=-4\cdot x\)
- \(17-9\cdot x^2+\frac{dy}{dx}=14\cdot x\)
Bestem den fuldstændige løsning til følgende differentialligning \(-3\cdot f’(x)=x^{-4}+7\).
Bestem den fuldstændige løsning til følgende differentialligning \(\frac{\frac{d}{dt}f(t)}{t}=3\cdot t+7\).
Du skal løse følgende differentialligning \(y’=0,\!5\cdot x^2\cdot\sqrt{4x^3-8}\).
Vækstens afhængighed af populationen størrelsen
Antag, at energiniveauet \(E(t)\) i en elektronisk enhed falder proportionalt med forskellen mellem dens aktuelle energiniveau og det minimale acceptable niveau \(E_{min}\). Differentialligningen kan udtrykkes som \(E’(t)=-k\cdot (E(t)-E_{min})\), hvor \(k\) er en positiv konstant.
- Find den generelle løsning af differentialligningen.
- Antag, at den elektroniske enhed starter med et energiniveau på 75 J og har et minimalt acceptabelt niveau på 33 J. Efter 100 sekunder er energiniveauet 72,55 J. Bestem konstanten \(k\).
- Tolk løsningen i forhold til, hvordan eneginiveauet udvikler sig over tid og hvordan konstanten \(k\) påvirker denne udvikling.
Antag, at antallet af digitale enheder i en befolkning, \(P(t)\), vokser med en konstant sats \(r\).
- Formuler differentialligningen, der beskriver væksten af digitale enheder.
- Find den fuldstændige løsning til differentialligningen.
- Antag, at antallet af digital enheder starter med 340.000 enheder. Bestem vækstraten \(r\) når det vides at til tiden 7 er der 476.000 enheder.
Antag, at temperaturen \(T(t)\) af en computerprocessor ændre proportionalt med forskellen på dens aktuelle temperatur og den maksimale sikkerhedstemperatur \(T_{max}\).
- Formuler differentialligningen, der beskriver temperaturkontrollen i computerprocessoren.
- Find den fuldstændige løsning til differentialligningen.
- Antag, at processoren starter ved en temperatur på \(27^{circ}C\). Bestem konstanten k når det vides at sikkerhedstemperaturen er \(73^{\circ}C\) og at til tiden 4,3 er temperaturen \(31^{\circ}C\).
En prøve af et radioaktivt stof indeholder \(N_0\) enheder ved tiden \(t=0\). Ændringen af radioaktivt stof er proportionalt med mængden til et givent tidspunkt.
- Opstil en differentialligning for mængden af radioaktivt stof i prøven.
- Find den fuldstændige løsning til differentialligningen.
- For Barium-137 er halveringstiden 2,55 min. Find den partikulærer løsning når det oplyses at løsningenskurven går igennem tiden 43 min er antallet af barium-137 654,5 og ændringen er 177,9.
- Fortolk løsningen, når det oplyses at der i en ny risø-kilde er ca. 78 mio barium-137. Hvordan påvirker konstanten \(k\) radioaktiviteten?
En bakteriekultur starter med 2300 bakterier og vokser med en konstant vækstrate. Væsktraten kan beskrives med formlen
\(k={\ln (2)\over T_{1/2}}\)
Bakteriekulturen fordobles hver 20 min.
- Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen der beskriver bakteriekulturen.