Opgaver – Henriksen

En opgavebank over forskellige emner.

LIGNINGER

Andengradsligningen

Vis, at den generelle formel reduceres til $\small x=0 \vee x=-\frac{b}{a}$, når c = 0.

Vis, at den generelle formel reduceres til $\small x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$, når b = 0

DIFFERENTIALREGNING

Regneregler

Du skal bruge regneregler til at differentiere følgende funktioner uden brug af CAS.

$\small f(x)=4\cdot x^2+3\cdot x-2$
$\small g(x)=- x^3 – x$
$\small h(x)=-3\cdot x^2+7\cdot x-4$
$\small i(x)=7\cdot x^5+3\cdot x^4-x^3+5\cdot x^2+x-7$
$\small j(x)=0,6\cdot x^5-0,75\cdot x^4+x^3+3\cdot x^2-x$
$\small k(x)=0,01\cdot x^{100}-2\cdot x^{50}+x^{20}+3\cdot x^{15}$
$\small l(x)=x^{-2}+x$
$\small n(x)=\frac{1}{x^2}$
$\small m(x)=\frac{1}{x^3}+x^2$
$\small o(x)=\frac{x^2+2\cdot x}{x^3}$
$\small p(x)=\frac{3\cdot x^{-3}+7\cdot x^2-8}{x^{-3}}$
$\small q(x)=\frac{x^2-2x-8}{x+2}$

Grænseværdibegrebet

My mind goes in interesting directions when I’m trying to sleep. from r/3Blue1Brown

I det ovenstående indlæg på Reddit er svaret på et differentialregningsspørgsmål $\mathsf{e}^{\frac{1}{\mathsf{e}}}$ hele to gange. Vi vil her se lidt på dette udtryk. Vi starter med at se på hvilken værdi udtrykket har.

argumenter for at $\small \mathsf{e}^{\frac{1}{\mathsf{e}}}$er det samme som $\small \sqrt[\mathsf{e}]{\mathsf{e}}$.
hvilket tal ganget med sig selv $\small \mathsf{e}$ gange giver $\small \mathsf{e}$?

Vi ser nu på udtrykket som en funktion $\small f(x)=\sqrt[x]{x}$ og starter med at se på lidt intuition.

tegn en skitse på papir af, hvordan du forventer funktionen $\small f(x)$ ser ud.

Vi vil nu undersøge funktionen for at se hvordan den opfører sig.

hvad er den højeste værdi som $\small f(x)$ kan antage?
hvad er definitions- og værdimængden for $\small f(x)$?
argumenter for, hvad grænseværdien for $\small f(x)$ er, når $\small x$ går mod $\small 0$.
tegn basere på din undersøgelse, hvordan du nu forventer at funktionen ser ud.
plot $\small f(x)$ og se om det passer overens med det du har fundet ud af og din forventning.

INTEGRALREGNING

Integralregning

Stamfunktion

Du skal til de følgende funktioner finde stamfunktionen ved hjælp af regneregler

$\small f(x)=x^2+5x-3$

$\small g(x)=e^x-2x^4-4$

$\small h(x)=-2\sqrt{x}-4x^2+2$

$\small i(x)=-8x^4+2$

$\small j(x)=-\frac{1}{x}-5x+4$

$\small k(x)=\sqrt{x}-x+4$

$\small l(x)=e^x-4x^2-5$

$\small m(x)=-\sqrt{x}+1$

$\small n(x)=\frac{1}{x}-5x^2+1$

$\small o(x)=10x^2-8$

$\small p(x)=e^x+5x^2-1$

$\small q(x)=-2\frac{1}{x}-2x+1$

$\small r(x)=e^x+5x^2-4$

Delvis integration

Benyt delvis integration til at løse følgende integraler.

$\int 2x\cdot sin(x) dx$
$\int x\cdot \ln(x) dx$
$\int 3x\cdot \ln(x) dx$

Benyt delvis integration til at løse følgende integraler.

$\int x^2\cdot\sqrt{x} dx$
$\int x^2\cdot\ln(x) dx$
$\int [ln(x)]^2 dx$

Benyt delvis integration eller integration ved substitution til at løse følgende integraler.

$\int x\cdot e^{2x} dx$
$\int x\cdot\ln(x^2) dx$
$\int x^2\cdot (x^3+2)^5 dx$
$\int e^{\frac{1}{x}}\cdot x^{-2} dx$
$\int \sqrt{x}\cdot\ln(x) dx$
$\int x^2\cdot\ln(x^3+6) dx$
$\int \frac{e^\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$
$\int x^{0,1}\cdot (x^{1,1}+2)^4,3 dx$
$\int sin(\sqrt{x})$

ANALYTISK PLANGEOMETRI

Den rette linje

Vinklen mellem linjer

Eftervis formlen $\small \tan(\theta)={\left|{\frac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2}}\right|}$ som kan benyttes til at beregne vinklen mellem to rette linjer.

Hint:

Benyt at tangens til differencen mellem to vinkler kan beregnes på følgende måde $\small \tan(\alpha – \beta)=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$.1

Projektionen af punkt på linje

I et koordinatsystem er givet punktet $\small A(-1,2)$ og linjen $\small \ell : y=0,\!4\cdot x – 3,\!4$. Bestem projektionen $\small A_l$ af punktet $\small A$ ned på linjen $\ell$.

I et koordinatsystem danner de tre punkter $\small A(1,2)$, $\small B(4,6)$ og $\small C(3,-1)$ en trekant. Bestem fodpunktet for hver af de tre højder.

Bestem projektionen af følgende punkter ned på linjen $\small \ell : -3\cdot x – 2\cdot y +9 = 0$

$\small A(-1,5)$, $\small B(3,-4)$, $\small C(10,2)$ og $\small D(0,0)$

VEKTORER

Determinanten

Hvis to vektorer er parallelle så vil determinanden være nul, dvs.

$\small \vec{a}\parallel\vec{b} \Leftrightarrow det(\vec{a},\vec{b})$

Vis algebraisk at hvis to vektorer er parallelle så vil determinanten altid være nul.

Prikprodukt

En trekant bestemmes ved punkterne A(1,2), B(3,4) og C(5,1). Bestem højden $\small h_b$ i trekanten.

GENERELLE KUNSKABER

Procentregning

Hvad er 25 % af 200?

Hvis en vare koster 400 kr., og prisen sættes ned med 10 %, hvad er den nye pris?

Hvad er 15 % af 80?

En jakke, der normalt koster 500 kr., er nu på udsalg med 20 % rabat. Hvad koster jakken nu?

Hvis 60 % af en klasse består af 18 elever, hvor mange elever er der i klassen i alt?

En telefon koster 2.000 kr., men den er steget i pris med 5 %. Hvad koster telefonen nu?

Hvis 40 % af en opgave er færdig, og den færdige del udgør 24 sider, hvor mange sider er der i opgaven i alt?

En pris på 500 kr. stiger med 12 %. Hvad er den nye pris?

Hvad er procentstigningen, hvis en vare stiger fra 300 kr. til 375 kr.?

En butik giver 30 % rabat på alle varer. Hvor meget betaler man for en vare, der oprindeligt kostede 1.200 kr.?

Hvis du tjener 15.000 kr. om måneden og får en lønforhøjelse på 8 %, hvad er din nye månedsløn?

En investering på 50.000 kr. vokser med 6 % om året. Hvor meget er investeringen værd efter ét år?

Hvad er procentforskellen mellem 450 og 540?

En bil mister 18 % af sin værdi hvert år. Hvad er bilens værdi efter to år, hvis den oprindeligt kostede 200.000 kr.?

En maskine koster 25.000 kr., men prisen stiger med 3 % årligt. Hvad vil maskinen koste efter tre år?

Hvis du investerer 100.000 kr. og opnår en årlig vækst på 4 %, hvor meget vil investeringen være værd efter 5 år?

En befolkning vokser med 2 % om året. Hvis der i dag er 50.000 indbyggere, hvor mange vil der være om 10 år?

En genstand, der koster 800 kr., får først en rabat på 15 % og derefter en ekstra rabat på 10 %. Hvad er den endelige pris?

En virksomheds omsætning stiger fra 1.500.000 kr. til 1.800.000 kr. Hvad er procentstigningen?

Du køber en aktie til 250 kr., og efter et år er den steget til 300 kr. Hvad er den procentuelle stigning?

Mængdelærer

Fælles- og foreningsmængde

Givet to mængder

$A=\{1,2,3,4,5\}$

$B=\{3,4,5,6,7\}$

Find foreningsmængden af A og B.
Find fællesmængden af A og B.

Givet to mængder

$C=\{a,b,c,d\}$

$D=\{c,d,e,f\}$

Find foreningsmængden af C og D.
Find fællesmængden af C og D.

Lad

$E=\{10,20,30,40\}$

$F=\{30,40,50,60\}$

$G=\{40,50,60,70\}$

Find foreningsmængden af E, F og G.
Find fællesmængden af E, F og G.

Antag følgende mængder

$H=\{x\in\mathbb{N} | x \text{ er et ulige tal, og } x<10 \}$

$I=\{x\in\mathbb{N} | x \text{ er et lige tal, og } x\leq 10 \}$

Skriv mængderne H og I explicit.
Find foreningsmængden af H og I.
Find fællesmængden af H og I.

Lad mængderne være

$J=\{2,4,6,8,10\}$

$K=\{1,3,5,7,9,10\}$

$L=\{5,10,15,20\}$

Find foreningsmængden af J, K og L.
Find fællesmængden af J, K og L.

Grundlæggende talmængder

Klassificér følgende tal i deres respektive mængder: naturlige tal ($\mathbb{N}$), hele tal ($\mathbb{Z}$), rationelle tal ($\mathbb{Q}$), irrationelle tal og reelle tal ($\mathbb{R}$):

$7$
$-3$
$\frac{4}{5}$
$0$
$\sqrt{2}$
$\pi$

Markér følgende tal på tallinjen, og angiv deres mængde (naturlige, hele, rationelle, irrationelle, eller reelle):

$2$
$-1.5$
$0$
$-\sqrt{5}$
$3.14$

Bestem hvilken mængde ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, irrationelle tal, eller $\mathbb{R}$) de følgende tal hører til:

$11$
$-7$
$5.333\ldots$ ($5 \frac{1}{3}$)
$\sqrt{16}$
$\sqrt{7}$
$e$ (Eulers tal, ca. $2.718$)

Lad mængderne være:

$\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, \dots}$
$\mathbb{Z} = {\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots}$
$\mathbb{Q}$: Alle brøker $\frac{a}{b}$, hvor $a, b \in \mathbb{Z}$ og $b \neq 0$.
Irrationelle tal: Tal, der ikke kan skrives som brøker.
$\mathbb{R}$: Alle reelle tal.

Indsæt tallene ${-4, 0, 1.25, \sqrt{3}, \pi, \frac{7}{2}}$ i de rigtige mængder.

Sæt kryds ved de rigtige udsagn:

Alle naturlige tal er også hele tal.
Alle hele tal er også rationelle tal.
Alle rationelle tal er også reelle tal.
Alle irrationelle tal er også reelle tal.
Alle reelle tal er også rationelle tal.

Funktioner

Andengradspolynomium

Parablens toppunkt

Forskriften for et andengradspolynomium er

$\small f(x)=3\cdot (x-2)^2+1$

Bestem koordinaterne til toppunktet.
Vis, at forskriften kan omskrives til

$\small 3x^2-12x+13$

Du skal bestemme koordinaterne til toppunktet af følgende parabler:

$\small f(x)=x^2-4$
$\small f(x)=(x-4)^2$
$\small f(x)=(x-4)^2-2$
$\small f(x)=x^2+8$
$\small f(x)=(x+8)^2$
$\small f(x)=(x+8)^2+1$

Bestem forskriften for det andengradspolynomium som har toppunkt i (2,3) og samtidig går gennem punktet med koordinaterne (-3,7).

Eksponentialfunktion

Google blev i 2002 stævnet af den russiske stat for at have slette YouTube kontier for russiske YouTube. Den russiske domstol idømte Google at åbne de berørte konti igen ellers ville de blive pålagt en bøde. Dette har Google ikke gjort og derfor er bødestørrelsen nu pr. 31. oktober 2024 vokset til astoromiske 2,5 decillioner ($2,5\cdot10^{33})$ dollars svarende til 2 undecillioner ($2\cdot10^{36})$ rubler. Dette er flere penge end der er i hele verdenen, hvilket gør det lidt absurt. Bødestørrelsen startede på 100.000 rubler og er blevet fordoblet hver uge. Hvornår blev det pålagt YouTube, at åbne for de russiske YouTube-konti?

Invertible funktioner

En funktion $f$ er givet ved:

$f(x)=3\cdot x+5$

Er $f(x)$ en invertibel funktion? Begrund dit svar.
Hvis ja, bestem den inverse funktion $f^{-1}(x)$.

Givet funktionen $g(x)=\frac{x-4}{2}$:

Vis, at $g(x)$ er invertibel.
Bestem den inverse funktion $g^{-1}(x)$.
Kontroller dit resultat ved at beregne $g(g^{-1}(x)$ og $g^{-1}(g(x)$.

Lad $h(x) = x^3$.

Tegn grafen for $h(x)$ og $h^{-1}(x)$ i samme koordinatsystem.
Forklar, hvordan du kan se på grafen, at $h(x)$ er invertibel.

En funktionen $f(x)=x^2$ er givet.

Bestem, om $f(x)$ er en invertibel funktion.
Hvis ikke. Hvad skal man ændre i definitionsmængden for at gøre $f(x)$ invertibel?

https://courses.lumenlearning.com/precalctwo/chapter/sum-and-difference-identities/ ↩