Brobygning og statistik

Vi skal se lidt på statistik og sandsynlighedsregning. Vi skal kaste lidt med nogle terninger, både fysiske og tænkte, under søge om firmaer holder hvad de lover og se om vi kan gøre livet for en matematiklærer mere simpelt.

Denne side inderholder materialer som vi skal bruge i forbindelse med undervisningen.

Terningekast

Vi skal kaste lidt med en terning. I regnearket herunder skal du indtaste i den første kolonne det antal øjne som du får. Det kan fx være 3.

Link til dokumentet findes her.

Simulation af terningekast

Vi skal se på hvordan der ser ud hvis vi kaster med en terning rigtig mange gange. Til det er det nemmere at lave en simulation af terninge kast i et regneark. Du kan lave det i excel eller du kan lave det i google sheets. Fremgangsmåden er skrevet herunder.

I den første kolonne skal du i A1 skrive “terning 1“
I feltet A2 skal du skrive “=slumpmellem(1;6)” – denne kommando genererer et vilkårligt tal mellem 1 og 6.
Kopiér celle A2 ned til A1001 (så du har 1000 terningekast)
I kollone C skriver du i feltet C1 “øjne“
Herunder skriver du tallene 1 til 6.
I kollonne D skriver du i feltet D1 “hyppighed“.
Herunder skriver du “=tæl.hvis(A2:A1000,C2)“
Marker feltet D2 og træk i hjørnet cellen ned til D7.

Du kan evt. hente en skabelon her.

Normalfordeling

Vi har nu set på fordelingen af antallet af øjne når vi kaster med flere øjne. Den fordeling der fremkommer kalder vi en normalfordeling. Vi skal nu se lidt på normalfordelingen.

Videoen herunder fortæller om hvordan vi kan bruge en normalfordeling til at fortælle noget om sandsynlighederne for at noget sker.

For at finde sandsynligheder i en normalfordeling bruger vi det der kaldes en z-score tabel. Z-scoren fortæller os hvor mange standardafvigelser (\(\sigma\)) en værdi ligger fra middelværdien (\(\mu\)).

Sådan aflæser du z-scoren

Beregn z-scoren med formlen: \(z = \frac{x – \mu}{\sigma}\)
Find de første to cifre af z (f.eks. 1,2) i venstre kolonne
FInde det tredje ciffer (f.eks 0,06 for z = 1,26) øverste i tabellen
Finde krydset mellem række og kolonne – dette er din sandsynlighed.

Eksempel: Hvis z = 1,26, finder du 1,2 i venstre kolonne (13. række) i tabel nummer 2 og 0,06 øverst i tabellen (7. kolonne), hvilket giver 0,8962 eller 89,62%.

z-score tabel

Du finder tabellen over z-score herunder

Opgave 1

Et kaffemærke leveres i 500 grams pakninger. For en sikkerheds skyld indstiller man påfyldningsmaskinen til at hælde 515 gram kaffe i hver pakke. Det antages, at den påfyldte vægt er normalfordelt med µ = 515 gram og σ = 10 gram.

Bestem sandsynligheden for, at en tilfældig valgt pakning vejer

under 500 gram
mellem 500 gram og 525 gram

Beregn først z-scoren for 500 gram. Husk at \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)

a) Under 500 gram

\(z=\frac{500 – 515}{10}=\frac{-15}{10}=-1,5\)

Udfra z-scoren kan det i tabellen aflæses at: \(P(Z < -1,5)≈0,0668=6,68%\)

b) Mellem 500 og 525 gram:

\(z_1=\frac{500 – 515}{10}=-1,50 \rightarrow P(Z<-1,50)≈0,0668\)

\(z_2=\frac{525 – 515}{10}=1,00 \rightarrow P(Z<1,00)≈0,8413\)

\(P(500<X<525)=0,8413 – 0,0668 = 0,7745 = 77,45%

Opgave 2

Når der fyldes mælk på en liter katon, så fyldes der ikke altid præcist 1 liter mælk i. Maskinen, der foretager påfyldningen, vil udvise små variationer fra gang til gang, og vi kan antage, at der er tale om en normalfordeling. For at være lidt på den sikre side indstilles maskinen til i middel at påfylde 1,015 liter. Antag, at spredningen er 0,008 liter.

hvad er sandsynligheden for at en karton indeholder mindre end 1 liter?

\(\mu = 1,015\) liter, \(\sigma=0,008\) liter, \(x=1,000\) liter

\(z = \frac{1,000 – 1,015}{0,008} = -1,875\)

Udfra z-scoren kan vi i tabellen aflæse: P(Z < -1,88) ≈ 0.0301 = 3,01%

Svar: Cirka 3% af kartonerne indeholder mindre end 1 liter.

Opgave 3

Et værksted producerer små metalplader. Det antages, at tykkelsen af de producerede plader er normalfordelt med en middelværdi på 2,50 mm og en spredning på 0,10 mm. Køberen kræver, at pladernes tykkelse højest må afvige med 0.15 mm fra middelværdien.

hvor mange procent af pladerne må kasseres?

Pladerne skal være mellem 2,35 mm og 2,65 mm. Beregn sandsynligheden for at være UDEN FOR dette interval.

Husk! Den samlede sandsynlighed er 1.

Acceptable plader: 2,35 mm til 2,65 mm

\(z_1=\frac{2,35 – 2,50}{0,10}=-1,50 \rightarrow P(Z<-1,50)≈0,0668\)

\(z_2=\frac{2,65 – 2,50}{0,10}=1,50 \rightarrow P(Z<1,50)≈0,9332\)

\(P(2,35<X<2,65)=0,9332 – 0,0668 = 0,8664\)

P(kasseres) = 1 – P(2,35<X<2,65) = 1 – 0,8664 = 0,1336 = 13,36%

Svar: Mellem 13-14% af pladerne må kasseres.

Konfidensintervaller

I statistikken har vi ikke altid mulighed for at måle på alt. Derfor udtager man ofte en stikprøve. Men hvordan kan vi ud fra en stikprøve sige noget om hvordan verdenen hænger sammen?

Her kan man kigge på det der hedder et konfidensinterval. Et konfidensinterval er to tal, hvor imellem vi er 95% sikre på at vores middelværdi ligger.

Vi kan udregne disse to tal med følgende formel

\(\mu=\bar{x}\pm 1,96\frac{\rho}{\sqrt{n}}\)

Forklaring

\(\mu\) = den sande middelværdi (som vi søger)
\(\bar{x}\) = gennemsnittet af vores stikprøve
\(\sigma\) = standardafvigelsen (spredningen)
\(n\) = antal målinger i stikprøven
\(1,96\) = z-værdien for 95% konfidensintervallet

Opgave 4

Det påstås at gennemsnitshøjden af en på 15 år er 170,25 cm (for piger er den 166 til 168 cm og for drenge er den 172 til 175 cm – her er der taget et gennemsnit) med en spredning på 7,5 cm. Vi skal undersøge om dette er rigtigt.

I skal måle jeres højde og indtaste den i skemaet herunder. Vi skal så benytte formlen herover til at udregne 95%-konfidensintervallet.

Opgave 5

Når man køber en lille (bitte) slikpose står der at den vejer 10 gram. Vi skal undersøge om denne påstand passer og at vi kan være sikker på at der er 10 gram i en pose. Vi antager en spredning på 0,3 gram.

Til læreren: Excel dokument til dataindsamling findes her