Vi har set på definitionen af et vektorprodukt
$\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot\cos (v)$
Denne defintion giver, at vektoren a prikket med vektoren b er lig med produktet af længden af de to vektorer gange cosinus til vinklen mellem de to vektorer a og b. Det ses her at prikproduktet mellem to vektorer giver et tal, en skalar, og derfor kaldes det også for skalarproduktet.
Vi kan benytte denne definition til også at redegøre for regneregler for prikproduktet, nemlig
$\vec{a}{\Large\bullet}(k\cdot\vec{b})=k\cdot (\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b})$
$\vec{a}{\Large\bullet}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}+\vec{a}{\Large\bullet}\vec{c}$
Hvis vi benytter de to sætninger på prikproduktet og det at en vektor kan udtrykkes ved brug af basisvektorer
$\vec{v}=v_x\cdot\vec{i} + v_y\cdot\vec{j}$
så har vi at
$\begin{align*}
\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}&=\vec{a}{\Large\bullet}(b_x\cdot\vec{i}+b_y\cdot\vec{j})\\
&=\vec{a}{\Large\bullet} b_x\cdot\vec{i}+\vec{a}{\Large\bullet} b_y\cdot\vec{j}\\
&=b_x\cdot\vec{a}{\Large\bullet}\vec{i}+b_y\cdot\vec{a}{\Large\bullet}\vec{j}\\
&=b_x\cdot a_x + b_y\cdot a_y\\
&=a_x\cdot a_y + a_y\cdot b_y\\
\end{align*}$
idet at
$\vec{v}{\Large\bullet}\vec{i}=v_x$
$\vec{v}{\Large\bullet}\vec{j}=v_y$
Vi har derved to måde at beregne prikproduktet på
(1) $\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot\cos (v)$
(2) $\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}=a_x\cdot a_y + a_y\cdot b_y$
I følge (1) så har vi
$v=cos^{-1}\Big(\frac{\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\Big)$
Vi har også, at vi ud fra prikproduktet kan se om vinklen er spids, ret eller stump idet
$\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}>0 \Rightarrow$ spids vinkel
$\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}=0 \Rightarrow$ ret vinkel
$\vec{a}{\Large\bullet}\vec{b}<0 \Rightarrow$ stump vinkel
Det overlades til jer at agumentere for at dette gør sig gældende.
Link til bogen: https://matbhtx.systime.dk/?id=106
Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-planen#h.p_xI8LBL5bEzvx
Opgaver
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|