-
Eulers metode til løsning af differentialligninger
Vi ser her på en anden rekursiv metode, men denne gang til at løse differentialligninger. Ikke alle differentialligninger kan vi løse analytisk, nogle skal bliver vi nød til at løse numerisk. Vi ser her på én af de metoder, specifikt Eulers metode. Herunder er der en video som gennemgår Eulers metode. Der er også et…
-
Newton-Raphsons metode til at finde nulpunkter for en funktion
Newton-Raphsons metode er rekursiv algoritme som går det muligt at finde nulpunkter for funktioner, selv for funktioner hvor vi ikke kan finde nulpunktet analytisk. Stenner har en glimrende video hvor han gennemgår Newton-Raphsons metode her. Der er dog en begrænsning ved Newton-Raphsons metode som går at den til tider vil divergere og ikke finde en…
-
Talfølger og rekursionsligninger
Vi skal her se på talfølger og rekursionsligninger. Man kan opfatte en rekursionsligning som en regel der forklare, hvorledes man kommer fra et element i en talfølge til det næste. Man kan således beregne alle elementer i talfølgen ud fra en startbetingelse. Talfølgen man opnår kaldes for rekursionsligningens løsning.
-
Modulo og Euklids algoritme
Vi skal her se på hvorledes vi kan forkorte en brøk ved hjælp af Euklids algoritme. Men for at vi kan det bliver vi nød til at introducere begrebet modulo som er division med rest.
-
Introduktion til diskret matematik
Vi skal her se på hvad diskret matematik er. Vi starter ud med at se lidt på talfølger, samt nedre og øvre heltalsværdi for et decimaltal.
-
Logistisk vækst
Vi har indtil videre set på eksponentiel vækst. Men denne type vækst har ikke et loft, dette er dog sjællent rigtigt i realiteten. Logistisk vækst er en vækst der er i starten er eksponentiel men så aftager indtil den når et stabil leje. Differentialligningen for logistisk vækst kan se ud på forskellige måder, men en…
-
Forskudt eksponentiel vækst
Vi har set, at løsningen til en differentialligning af typen \(y’=k\cdot y\) er \(y=c\cdot e^{k\cdot x}\). Vi skal her se på en næsten tilsvarende differentialligning, nemlig \(y’=a\cdot y + b\), og at løsningen til den er \(y=c\cdot e^{k\cdot x}-{b\over a}\).
-
Vækstens afhængighed af populationen størrelsen (N)
Vi ser lidt på nogle praktiske eksempler på hvorledes man kan bruge differentialligninger af typen \(y’=k\cdot y\).
-
Differentialligninger af typen y’=ky
Vi ser her op differentialligninger af typen \(y’=k\cdot y\). Ved at benytte separationsmetoden kan vi vise at samtlige differentialligner af denne type har løsningen \(y=c\cdot e^{k\cdot x}\) Vi kan derfor hurtigt finde løsninger til differentialligninger ved blot at identificere den. For eksempel så har differentialligningen \(y’=2\cdot y\) løsningen \(y=c\cdot e^{2\cdot x}\), hvor vi kun kan…
-
Separationsmetoden
Vi vil her se på separation af variable når vi skal løse differentialligninger. Det er ikke alle differentialligninger der kan løses på denne måde, da de skal have formen \({\mathrm{d}y\over\mathrm{d}x}=h(x)\cdot g(y)\) Differentialligner på denne form kaldes for separable differentialligninger.
-
Linjeelementer og linjefelt
Når vi grafisk skal analysere en differentialligning kan vi indtegne et linjefelt i et koordinatsystem, som viser hvorledes løsningerne til differentialligningen vil forløbe. Man kan se det lidt som på et linjefelt som de små metalspåner man kan sprede på en overflade og som vil indrette sig i forhold til det magnetiske felt således at…
-
Tangent til en integralkurve
Vi skal her så op hvorledes vi kan finde tangenten til en partikulær løsning til en differentialligning.