Vi skal her se lidt på raketligningen og hvorledes vi kan beregne på sluthastighed, fremdrist eller brændstofsdimensionering i forbindelse med rumfart.

Vi vil starte med at se på hvorledes vi ved hjælp af impuls kan betragte rumfartøjet.

Impuls er et spørgsmål om hvor nemt det er at ændre et objekts bevægelse. Hvis det har høj hastighed vil det være impulsen være høj, vi vil hellere stoppe en sæbekassebil der triller ned af en bakke med 0,5 m/s end en sæbekassebil der triller med 100 m/s. Ligeledes vil vi også hellere stoffe en sæbekassebil der triller med 3 m/s end en lastbil der triller med 3 m/s, ergo højere masse giver højere impuls.

Vi kan udtrykke det som

$p=m\cdot v$

hvor p er impulsen, m er massen og v er hastigheden.

For et rumfartøj kan vi beregne dens impuls før vi starter motoren.

$p_{før}=m\cdot v$

Når vi tænder for motoren så vil vi forbrænde brændstof og derved vil massen af rumfartøjet ændre sig, rumfartøjets masse vil ændre sig og brændstoffet vil blive presset ud med en hastighed, u, svarende til v – u i forhold til omgivelserne.

Vi kan derfor beregne den samlede impuls efter vi har tændt motoren ved

$p_{efter}=(m+\Delta m)\cdot (v+\Delta v)+(-\Delta m)\cdot (v-u)$

Vi omskriver dette udtruk for impulsen efter ved at ophæve parenteserne

$p_{efter}=m\cdot v+m\cdot\Delta v+\Delta m\cdot v+\Delta m\cdot \Delta v-\Delta m\cdot v+\Delta m\cdot u$

Vi kan se at der er to led som går ud med hinanden

$p_{efter}=m\cdot v+m\cdot\Delta v+\!\!\cancel{\Delta m\cdot v}+\Delta m\cdot \Delta v-\!\!\cancel{\Delta m\cdot v}+\Delta m\cdot u$

Som derfor reduceres til

$p_{efter}=m\cdot v+m\cdot\Delta v+\Delta m\cdot \Delta v+\Delta m\cdot u$

Vi kan nu beregne ændringen i impulsen som er

$\Delta p=p_{efter}-p_{før}$

Vi har derved at ændringen i impulsen er

$\Delta p=m\cdot v+m\cdot\Delta v+\Delta m\cdot \Delta v+\Delta m\cdot u-m\cdot v$

hvor vi igen har to led der går ud

$\Delta p=\!\!\cancel{m\cdot v}+m\cdot\Delta v+\Delta m\cdot \Delta v+\Delta m\cdot u-\!\!\cancel{m\cdot v}$

og vi derved har at ændringen i impulsen er

$\Delta p=m\cdot\Delta v+\Delta m\cdot \Delta v+\Delta m\cdot u$

Vi kan lave en lille simplificering ved at de på det midterste led på højresiden, her står der

$\Delta m\cdot\Delta v$

Da vi snakker små ændringer så vil dette led blive meget lille, faktisk så lille at vi kan se bort fra det. Det er ikke nul, så det er en simplificering, men det er tæt på nul. Vi får derfor at

$\Delta p=m\cdot\Delta v+\Delta m\cdot u$

Hvis vi er i rummet og der derfor ikke er noget der kan påvirke impulsen vil impulsændringen være nul

$\Delta p=0$

men hvis vi opsender rumfartøjet fra jordens overflade så vil tyngdekraften have en effekt på impulsen. Da tyngdekraften trykker rumfartøjet nedad vi den derfor bremse rumfartøjet og dette skal vi derfor tage højde for.

Til at gøre dette skal vi se på Newtons anden lov som siger

$F_{res}=m\cdot a$

men da vi ved at accelerationen er ændring i hastighed pr. tid, dvs.

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

så kan vi skrive Newtons anden lov som

$F_{res}=m\cdot\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{m\cdot \Delta v}{\Delta t}$

Her har vi i tælleren masse gange hastighed som er impulsen. Da vi har en ændring i hastighed vil det derfor svare til en ændring i impuls og Newtons anden lov bliver til

$F_{res}=\frac{\Delta p}{\Delta t}$

Denne er egentlig den måde Newton fremsatte sin lov på. Han sagde nemlig

“The change of motion of an object is proportional to the force impressed; and is made in the direction of the straight line in which the force is impressed.“

Isaac Newton

Ved denne måde at opstille Newtons anden lov på har vi at impulsændringen derfor også kan skrives som

$\Delta p=F_{res}\cdot\Delta t$

Den resulterende kraft vil i dette tilfælde være tyngdekraften som virker på rumfartøjet. Da tyngdekraften virker i modsat retning i forhold til hvilken rumfartøjet bevæger sig i er den derfor negativ. Impulsændringen er derfor

$\Delta p=-m\cdot g\cdot\Delta t$

Da både dette udtryk og udtrykke vi fik da vi så på impulsen for rumfartøjet beskriver impulsændringen må disse to udtryk være ens og vi har derfor at

$-m\cdot g\cdot\Delta t=m\cdot\Delta v+\Delta m\cdot u$

Denne ligning (som egentlig er en differentialligning) beskriver rumfartøjets bevægelse når forbrændingsmotorerne tændes og kaldes derfor også for raketligningen.

Med denne ligning kan vi beregne hvad sluthastigheden bliver, hvor meget brændstof der skal til, fremdriften eller hvilken højde vi kan opnå. Til at gøre dette skal vi løse raketligningen for den størrelse vi gerne vil beskrive og dette beskrives i de tre afsnit herunder.

Lad os starte med at se på hastigheden.

Sluthastigheden

Hvis vi gerne vil se på sluthastigheden skal vi starte med raketligningen

$-m\cdot g\cdot\Delta t=m\cdot\Delta v+\Delta m\cdot u$

Da vi er interesseret i hastigheden af rumfartøjet, v, skal vi isolere $\Delta v$ i ligningen og vi får

$\Delta v=-\Delta m\cdot u\cdot\frac{1}{m}-g\cdot\Delta t$

Da vi ser på små ændringer så ændre vi $\Delta$ til d.

$dv=-dm\cdot u\cdot\frac{1}{m}-g\cdot dt$

Da vi hele tiden ændre summerer vi op over alle de små ændringer for at finde sluthastigheden. Dette gør vi ved at integrere på begge sider og lighedstegnet.

$\int dv=-\int dm\cdot u\cdot\frac{1}{m}-\int g\cdot dt$

hvor vi kan integrere hver led for sig. På højresiden har vi to integraler som indeholder konstanter som derfor kan sættes uden for integraltegnet. Vi har derfor at

$\int dv=-u\cdot\int \frac{1}{m}dm-g\cdot\int dt$

Hvis vi integrerer fra start til slut vil vi have

$\int_{v_{start}}^{v_{slut}} dv=-u\cdot\int_{m+m_b}^{m} \frac{1}{m}dm-g\cdot\int_0^T dt$

Dette giver

$v_{slut}-v_{start}=-u\cdot\ln(m)+u\cdot\ln(m+m_b)-g\cdot T$

Vi kan ved hjælp af logaritmeregnereglen

$\ln(\frac{a}{b})=\ln(a)-\ln(b)$

Omskrive til

$v_{slut}-v_{start}=u\cdot\ln(\frac{m+m_b}{m})-g\cdot T$

som i sidste ende kan omskrives til

$v_{slut}-v_{start}=u\cdot\ln(1+\frac{m_b}{m})-g\cdot T$