Opgaver til logaritme

En lille samling af ekstraopgaver til emnet logritmefiunktioner

Logaritmefunktioner – en introduktion

LEI001

Løs følgende udtryk

$27 = \frac{12}{1 - \frac{1}{2} \cdot e^{- x}}$
$1000 = \frac{10000}{1 + 19 \cdot e^{- t}}$
$300 = \frac{400}{1 + 3 \cdot e^{- 2 k}}$
$16^{x} + 4^{x} - 6 = 0$
$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 6$
$\frac{l n (4 \cdot x + 2)}{l n (4 \cdot x - 2)} = 2$
$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} = \frac{1}{2}$

LEI002

Et spektrofotometer måler koncentrationen af et stof opløst i vand ved at sende lys igennem opløsningen og måle hvor meget af lyset der kommer igennem. Med andre ord, hvis vi kender hvor meget lys der er absorberet så kan vi kan vi beregne koncentrationen af vores prøve. For et givent stof er koncentrationen (i mol pr liter) fundet ved at bruge følgende formel

$C = - 2500 \cdot l n (\frac{I}{I_{0}})$

hvor $I_{0}$ er intensiteten af det lys prøven belyses med og $I$ er intensiteten af der lys som kommer igennem prøven. Find koncentrationen for stoffet hvis intensiteten $I$ er 70% af $I_{0}$ .

LEI003

Alderen på en gammel artefakt kan bestemmes ud fra mængden af radioaktivt kulstof-14, der er tilbage i den. Hvis $D_{0}$ er den oprindelige mængde kulstof-14 og $D$ er den resterende mængde, så er artifaktens alder (i år) givet ved

$A = - 8267 \cdot l n (\frac{D}{D_{0}})$

Find alderen på et objekt, hvis mængde af $D$ af kulstof-14, der er tilbage i objektet, er 73% af den oprindelige mængde $D_{0}$ .

LEI004

En bestem bakteriestamme deler sig hver tredje time. Hvis en koloni startes med 50 bakterier, så er tiden t (i timer), der kræves for at kolonien vokser til N bakterier, givet ved

$t = 3 \cdot \frac{l o g (N / 50)}{l o g (2)}$

Find den tid, det tager for kolonien at vokse til en million bakterier.

LEI005

Hvilket udtryk er størst. $l o g_{4} (17)$ eller $l o g_{5} (24)$ ? Begrund dit svar.

LEI006

Sammenlig $l o g_{10} (1000)$ til antallet af cifre i 1000. Gør det samme for 10.000. Hvor mange cifre har et hvilket som helst heltal mellem 1000 og 10.000? Mellem hvilke værdier vil 10-tals-logaritmen til sådanne et tal ligge? Brug denne observation til at forklar hvorfor antallet af cifre i et vilkårligt positivt heltal x er $⌊ l o g_{10} (x) ⌋ + 1$ . Hvor mange cifre har tallet $2^{100}$ ?

Logaritmeregneregler

LRR001

Udvid hver af disse udtryk

$l o g_{9} (6 x^{3} y^{5} z)$
$l o g_{3} (\frac{p^{2} q}{\sqrt[5]{3 q - 1}})$
$l o g_{11} (a b^{- 4} c^{1} 2 d^{7})$
$l o g_{4} (10 t^{2} u v^{- 3})$
$l n (\frac{x^{7}}{\sqrt[3]{x + 2}}$
$l o g_{7} (h^{2} j^{11} k^{- 5})$
$l o g_{5} (a^{6} b^{- 3} c^{4})$

LRR002

Reducer hvert udtryk

$3 \cdot l o g_{5} (x) - \frac{1}{2} \cdot l o g_{5} (6 - x)$
$5 \cdot l o g_{7} (2 x) - \frac{1}{3} \cdot l o g_{7} (5 x + 1)$
$7 \cdot l o g_{3} (a) + l o g_{3} (b) - 2 \cdot l o g_{3} (8 c)$
$4 \cdot l n (x + 3) - \frac{1}{5} \cdot l n (4 x + 7)$
$2 \cdot l o g_{8} (9 x) - l o g_{8} (2 x - 5)$
$l n (13) + 7 \cdot l n (a) - 11 \cdot l n (b) + l n (c)$
$2 \cdot l o g_{6} (5 a) + l o g_{6} (b) + 7 \cdot l o g_{6} (c)$

LRR003

Udtryk hvert af følgende udtryk i form af $l o g_{2}$ og $l o g_{5}$

$l n (\frac{4}{5})$
$l n (80)$
$l n (\frac{0, 8}{2})$
$l n (2000)$
$l n (200)$
$l n (12, 5)$
$l n (\frac{2}{5})$
$l n (1, 6)$