Linjens parameterfremstilling – punkt på linjen
En linje har parameterfremstillingen \(\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\ 2\\ -1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\). Ligger punktet P(-2,3,1) på linjen?
Lad os sige, vi har punktet P(3, -2, 1) og linjen gennem punktet A(2, 1, 0) og med retningsvektoren \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\). Ligger P på den nævnte linje?
Givet punkterne P(2, 3, 4) og linjen gennem punktet A(1, -1, 2) og B(5, 2, -3). Ligger punktet P på linjen gennem A og B?
Du er givet punktet P(4, 2, 3) og to linjer. Den første linje går gennem punkterne A(1, -1, 2) og B(3, 1, -1), og den anden linje går gennem punkterne C(2, 0, 4) og D(5, 3, 1). Ligger punktet P på en af disse linjer, begge linjer, eller ingen af dem?
Planets parameterfremstilling
Du er givet to linjer i rummer.
\(\ell_1:\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2,5\\ 3,5\\ 0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\)
\(\ell_2:\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\)
Kan du ud fra oplysningerne om de to linjer opstille parameterfremstillingen for et plan? Hvis ja, hvad er så planets parameterfremstilling. Hvis nej, hvorfor kan det ikke lade sig gøre?
Planets parameterfremstilling ud fra tre punkter
Find parameterfremstillingen for planet gennem punkterne (1, 2, 3), (4, 5, 6) og (-1, 0, 2).
Find parameterfremstillingen for planet, der går gennem punkterne (1, 1, 1), (2, -1, 3) og (-1, 2, -1).
Bestem parameterfremstillingen for planet, det går gennem punktet (2, -1, 3) og indeholder linjen \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+t\\-1-2t\\2t\end{pmatrix}\)
Skæringspunkt mellem en linje og et plan
En linje \(\ell\) har parameterfremstillingen
\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\)
og et plan \(\alpha\) er givet ved ligningen
\(2x-3y+4z=12\)
Find skæringspunktet mellem linjen \(\ell\) og planet \(\alpha\).
En linje \(\ell\) er givet ved to punkter A(1,-2,3) og B(3,1,5). Et plan \(\alpha\) går gennem punktet C(2,0,4) og er vinkelret på linjen \(\ell\). Find skæringspunktet mellem linjen \(\ell\) og planet \(\alpha\).
En linje \(\ell\) har parameterfremstillingen
\(\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\)
og et plan \(\alpha\) er givet ved ligningen
\(2x+3y-z=5\)
Undersøg om linjen \(\ell\) skærer planen \(\alpha\) og hvis ja, find da skæringspunktet.