Vi er i Basel i slutningen af 1600-tallet. En ung matematiker ved navn Jacob Bernoulli, stiller sig selv et tilsyneladende enkelt spørgsmål.
“Hvis jeg investerer én florin til 100% rente om året, men renten bliver tilskrevet oftere og oftere, hvor meget vokser min formue så?”
Dette skulle dog vise sig at afslører et af matematikkens mest specielle tal, på højde med konstanten π. Men inden vi kommer der til ser vi lige på, hvad sker der egentligt når man tilskriver rente.
Hvis vi skal tilskrive rente skal vi lægge rente til det beløb som vi har i banken. For det eksempel som hr Bernoulli tænkte på i 1683, så ville en investering på én florin til en rente på 100% om året efter et år løbe op i
\(1+1/100\cdot 100=1+1=2\)
Det vil sige to floriner. Ikke tosset. Dette kan vi også skrive som
\((1+r)^n\)
hvor r er rentefoden og n er antallet af terminer.
Tilbage i Basel sad en undrende Bernoulli og funderede over hvad der ville ske hvis man fik tilskrevet renten oftere. Hvad nu hvis man fik tilskrevet renten to gange om året, altså hvert halvår, men selvfølgelig kun halvdelen af renten, hvad ville man så få udbetalt? For Bernoullis ene florin ville det løbe op i
\((1+1/2)^2=2,25\)
som er 0,25 floriner mere. Det ville altså være en fordel at få tilskrevet renten oftere. Men hvorfor nøjes med en gang hver halvår, hvorfor ikke hvert kvartal?
\((1+1/4)^4=2,44\)
samt en del flere decimaler. Nu er vi næsten allerede oppe på en halv florin mere. Det er lovende. Men hvorfor stoppe med hvert kvartal? Hvorfor ikke månedligt, dagligt, ja måske endda hver time. Hvad sker der hvis man forestiller sig, at tilskrive renten uendeligt ofte. Ville man så ende med 10 floriner, eller 20 floriner, ja måske endda 100 floriner. Man kunne måske endda blive rig på det!
Til Bernoullis egen overraskelse, nærmede tallet sig en grænse, en grænse som var relativ lavt tal. Et tal, han ikke havde set før og som senere skulle få sit helt eget navn. Men mere om det om lidt.
Matematik ville vi skrive
\(\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n≈2,718\)
som fortæller, at hvis vi gør n uendeligt stor, så vil renten ville uendelig lille (1/n), mens man ville få uendelig mange terminer. Men lige meget hvor stor man går n så vil vi ikke komme højere op end 2,718, og så en masse decimaler.
Man kunne altså højest opnå en fortjeneste på 1,718 floriner selvom man tilskrev rente uendeligt ofte.
Godt 50 år senere griber en anden schweizer idéen. Leonhard Euler, en af historiens største matematikere, gør til noget mere end en tilfældig grænseværdi. Han navngiver det e, og vi kalder det i dag for Eulers tal.
Euler definerer selve eksponentialfunktionen
\(e^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n\)
Det, der begyndte med rentes rente hos Bernoulli, blev hos Euler til en funktion, der beskriver vækst, henfald, sandsynligheder, bølger og endda kvantemekanik.
Men hvorfor er denne eksponentialfunktion med grundtallet e så speciel? Vi har mange forskellige eksponentialfunktioner, \(2^x\),\(10^x\),\(1,5^x\),\(0,7^x\). Hvad gør lige \(e^x\) speciel. Dette vendes der tilbage til, men lige nu vil vi bare nøjes med at det kun findes én eksponentialfunktion. Alle eksponentialfunktioner kan omskrives til en hvilken som helst anden eksponentialfunktion
\(a^x=e^{x\cdot ln(a)}\)
Så selv når vi arbejder med 2^x eller 10^x, er det i virkeligheden bare e^x, vi ser i forklædning. Én funktion til at styrer dem alle.
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|