I would point out is that most of the change over the past 5,000 years has been arithmetic, and it now logarithmic.
Digitization, the whole Moore’s law thing where it doubles every 18 months – that is a speed that is faster than most people are used to.
Ken Moelis
Vi har nu set på både eksponential- og logaritmefunktioner og deres indbyrdes forhold. Vi skal her til sidst se på en egenskab ved eksponentialfunktioner.
Hvis vi for eksempel har en konto i banken hvor på der pr dags dato står 1000kr og renten er 1,25% kunne vi være interesseret i at vide hvor lang tid der går inden beløbet er fordoblet.
Vi har tidligere snakket om at for en eksponentialfunktion så stiger den med den samme procent når x-værdien øges men 1 underordnet hvor henne på x-aksen vi befinder os. Det er måske derfor heller ikke så mærkeligt at x-værdien øges med den samme værdi når y-værdien fordobles.
E.Coli er en kendt og nok den mest studerede bakterie i løbet af de sidste 60 år. I naturen har den en cyklus hvor den deler sig hver 15. time hvorfor der hver 15. time er dobbelt så mange bakterier som der fra 15. timer før, med den betingelse at der ikke er nogle af dem der dør. Det er mere realistisk at opnå i et laboratorie og her vil tiden der går for at en bakteriekoloni er fordoblet typisk være 20 minutter.
Den tid der går før en bakteriekoloni eller beløbet på en bankkonto er fordoblet kaldes for fordoblingstiden eller mere generelt fordoblingskonstanten.
Fordoblingskonstanten, \(T_2\), er den værdi der skal ligges til x-værdien for at y-værdien for funktionen \(f(x)\) fordobles.
\(b\cdot a^{x+T_2}=2\cdot f(x)\)
Lad os se på en konkret eksponentialfunktion.
Vi kan herover se at hvis y-værdien for B (blå) er dobbelt så stor som y-værdien for A (rød) så vil forskellen mellem de to x-værdier være ens.
Hvis vi ser på når A(0,1) og B(5,2) så er forskellen på x-værdierne 5. Hvis Ay er 2 og By er 4 er Δx stadig 5 og hvis Ay er 4 og By er 8 så er Δx stadig 5. Når x vokser med 5 fordobles y-værdien.
Vi kan beregne fordoblingstiden (T2) ved hjælp af
\(T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)}\)
så længe grundtallet a er større end 1. Det vil sige, at det er en eksponentielt voksende funktion.
Lad os se på et par eksempler.
For en eksponentiel funktion er forskriften \(f(x)=3\cdot 5^x\). Bestem fordoblingskonstanten.
LØSNING
Da vi skal finde fordoblingskonstanten og vi kender forskriften og derfor grundtallet kan vi direkte bruge formlen
\(T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)}\)
Vi indsætter værdierne ind i formlen.
\(T_2 = \frac{\log(2)}{\log(5)}=0,4307\)
Fordoblingskonstanten er derfor 0,4307.
På en konto står der 5837kr. Vi har fået at vide at det vil tage 51 terminer før dette beløb er fordoblet. Hvad er renten på kontoen?
LØSNING
Da vi her kender fordoblingskonstanten men mangler grundtallet kan vi benytte formlen for fordoblingskonstanten og omskrive den.
\(T_2=\frac{\log(2)}{\log(a)}\)
\(\log(a)=\frac{\log(2)}{T_2}\)
Da vi gerne vil have isoleret a skal vi opløfte begge sidder til en eksponent. Men grundtallet og basen på logaritmen skal passe sammen. Derfor vælger vi en logaritmefunktion og da vi har et \(\log(2)\) så lad os vælge to-taltlogaritmen da \(\log_2(2)=1\). Vi har derfor at
\(\log_2(a)=\frac{\log_2(2)}{T_2}\)
\(\log_2(a)=\frac{1}{T_2}\)
\(2^{(\log_2(a)}=2^{\frac{1}{T_2}}\)
\(a=2^{\frac{1}{T_2}}\)
Vi kan nu indsætte værdien for fordoblingskonstanten og finde grundtallet.
\(a=2^{\frac{1}{51}}=1,0137\)
Grundtallet for den eksponentielle funktion der beskriver beløbets udvikling er 1,0137 og en rente på
\(r=(1,0137-1)\cdot 100=1,37\%\)
Renten på kontoen er derfor 1,37%.
Vi kan bevise at denne formel gælder på følgende måde
Vi skal finde den x-værdi, hvor y-værdien er dobbelt så stor som begyndelsesværdien. Det vil sige,
\(f(x)=2\cdot b\)
og derfor har vi at
\(b\cdot a^x=2\cdot b\)
\(a^x=2\)
\(\log(a^x)=\log(2)\)
\(x\cdot\log(a)=\log(2)\)
\(x=\frac{\log(2)}{\log(a)}\)
Hvor x svare til den x-værdi funktionen skal have for at y-værdien er dobbelt så stor som begyndelsesværdien og svare derfor til \(T_2\)
Der er et lidt mere generelt bevis i bogen som findes her.
Opgaver
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|