I would point out is that most of the change over the past 5,000 years has been arithmetic, and it now logarithmic.
Digitization, the whole Moore’s law thing where it doubles every 18 months – that is a speed that is faster than most people are used to.
Ken Moelis
Vi har nu set på både eksponentiel- og logaritmefunktioner og deres indbyrdes forhold. Vi skal her til sidst se på en egenskab ved eksponentielle funktioner.
Hvis vi for eksempel har en konto i banken hvor på der pr dags dato står 1000kr og renten er 1,25% kunne vi være interesseret i at vide hvor lang tid der går inden beløbet er fordoblet.
Vi har tidligere snakket om at for en eksponentiel funktion så vokser den med den samme procent når x-værdien øges med én underordnet hvor henne på x-aksen vi befinder os. Det er måske derfor heller ikke så mærkeligt at x-værdien øges med den samme værdi når y-værdien fordobles.
E. coli er en kendt og nok den mest studerede bakterie i løbet af de sidste 60 år. I naturen har den en cyklus, hvor den deler sig hver 15. time, hvorfor der hver 15. time er dobbelt så mange bakterier som der fra 15. timer før, med den betingelse at der ikke er nogle af dem der dør. At undgå celledød er mere realistisk at opnå i et laboratorie og her vil tiden der går for at en bakteriekoloni er fordoblet typisk være 20 minutter da man her kan sørge for at der er optimale vækstbetingelser. 1
Videoen viser en falskfarvet time-lapse video fra flourescensmikroskopi af en voksende koloni af E. coli-celler. Videoen består af 114 billeder, hvor de første 40 billeder er taget med 4 minutters interval, og de resterende 74 billeder er taget med 2 minutters interval. Hentet fra Aging and Death in an Organism That Reproduces by Morphologically Symmetric Division (Steward et al., 2005) https://doi.org/10.1371/journal.pbio.0030045. Videoen er licenseret under CC BY-SA 4.0 
.
Den tid der går før en bakteriekoloni eller beløbet på en bankkonto er fordoblet kaldes for fordoblingstiden eller mere generelt fordoblingskonstanten.
Fordoblingskonstanten, \(T_2\), er den værdi der skal ligges til \(x\)-værdien for at \(y\)-værdien for funktionen \(f(x)\) fordobles.
\(b\cdot a^{x+T_2}=2\cdot f(x)\)
Lad os se på en konkret eksponentiel funktion.
Vi kan herover se at hvis \(y\)-værdien for B (blå) er dobbelt så stor som \(y\)-værdien for A (rød) så vil forskellen mellem de to \(x\)-værdier være ens.
Hvis vi ser på når A(0,1) og B(5,2) så er forskellen på \(x\)-værdierne 5. Hvis Ay er 2 og By er 4 er Δx stadig 5 og hvis Ay er 4 og By er 8 så er Δx stadig 5. Når \(x\) vokser med 5 fordobles \(y\)-værdien.
Vi kan beregne fordoblingskonstanten (\(T_2\)) ved hjælp af
\(T_2 = \frac{\ln(2)}{\ln(a)}\)
så længe grundtallet a er større end 1. Det vil sige, at det er en eksponentielt voksende funktion.
Lad os se på et par eksempler. Vi starter med at se på at bestemme fordoblingskonstanten.
For en eksponentiel funktion er forskriften \(f(x)=3\cdot 5^x\). Bestem fordoblingskonstanten.
LØSNING
Da vi skal finde fordoblingskonstanten og vi kender forskriften og derfor grundtallet kan vi direkte bruge formlen
\(T_2 = \frac{\ln(2)}{\ln(a)}\)
Vi indsætter værdierne ind i formlen.
\(T_2 = \frac{\ln(2)}{\ln(5)}=0,4307\)
Fordoblingskonstanten er derfor 0,4307.
Men vi kan også godt bestemme fremskrivningsfaktoren og den relative tilvækst hvis vi kender fordoblinskonstanten
På en konto står der 5837kr. Vi har fået at vide at det vil tage 51 terminer før dette beløb er fordoblet. Hvad er renten på kontoen?
LØSNING
Da vi her kender fordoblingskonstanten men mangler grundtallet kan vi benytte formlen for fordoblingskonstanten og omskrive den.
\(T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}\)
\(\ln(a)=\frac{\ln(2)}{T_2}\)
Da vi gerne vil have isoleret \(a\) skal vi opløfte begge sidder til en eksponent. Men grundtallet og basen på logaritmen skal passe sammen. Vi har derfor at
\(\ln(a)=\frac{\log_2(2)}{T_2}\)
\(\log_2(a)=\frac{1}{T_2}\)
\(\mathrm{e}^{\ln(a)}=\mathrm{e}^{\frac{\ln(2)}{T_2}}\)
\(a=\mathrm{e}^{\frac{1}{T_2}\cdot\ln(2)}=(\mathrm{e}^{\ln(2)})^\frac{1}{T_2}=2^\frac{1}{T_2}\)
Vi kan nu indsætte værdien for fordoblingskonstanten og finde grundtallet.
\(a=2^{\frac{1}{51}}=1,0137\)
Grundtallet for den eksponentielle funktion der beskriver beløbets udvikling er 1,0137 og en rente på
\(r=(1,0137-1)\cdot 100\%=1,37\%\)
Renten på kontoen er derfor 1,37%.
Formler
Vi har for fordoblingskonstanten at vi kan beregne den ved at benytte
\(T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}\)
og hvis vi skal beregne fremskrivningsfaktoren ud fra fordoblingskonstanten skal vi benytte
\(a=2^\frac{1}{T_2}\)
Opgaver
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|
Bevis
Det kan findes et bevis i bogen, men dette bevis tager udgangspunkt i at det er begyndelseværdien som vi fordobler. At funktionen fordobles for hver gang vi ligger fordoblingskonstanten til er en særlig egenskab for eksponentielle funktioner, men dette har vi ikke bevist. Vi kan dog sagtens bevise dette.
Lad den eksponentielle funktion være givet ved \(f(x)=b\cdot\mathrm{e}^x\). Vi vil gerne bevise at funktionen har en fordoblingskonstant, \(T_2\), som opfylder at
\(f(x+T_2)=2\cdot f(x)\)
for alle \(x\in Dm(f)\). Denne ligning udtrykker netop at når vi lægger et tal til \(x\) i dette tilfælde \(T_2\) så fordobles funktionsværdien. Dette er uafhængigt af hvor vi står på grafen og vi vælger derfor en vilkårlig \(x\)-værdi, lad os kalde den for \(x_0\). Vi har derfor at
\(f(x_0+T_2)=2\cdot f(x)\).
Hvis vi indsætter forskriften for funktionen har vi
\(b\cdot a^{x_0+T_2}=2\cdot b\cdot a^{x_0}\).
Da der står \(b\) på begge sidder kan dette forkortes ud på begge sider
\(a^{x_0+T_2}=2\cdot a^{x_0}\).
Da potensen på venstresiden er et sum kan vi kan her benytte en potensregneregel, nemlig \(a^{n+m}=a^n\cdot a^m\), til at omskrive til
\(a^{x_0}\cdot a^{T_2}=2\cdot a^{x_0}\).
Vi har nu at der på begge sider er ganget med \(a^{x_0}\) og vi kan derfor forkorte ved at dividere med \(a^{x_0}\) på begge sider
\(a^{T_2}=2\).
Vi er nu næsten i mål. Vi skal nu bare have isoleret \(T_2\) og til dette skal vi selvfølgelig benytte en logaritme. Da vi kan vælge den logaritme vi har lyst til så vælger vi selvfølgelig den naturlige logaritme
\(\ln(a^{T_2})=\ln(2)\)
og så skal vi naturligvis benytte en logaritmeregneregel, \(\ln(a^n)=n\cdot\ln(a)\) til at få potensen ned
\(T_2\cdot\ln(a)=\ln(2)\)
Så mangler der bare at isolere \(T_2\) ved at dividere med \(\ln(a)\) på begge sider
\(T_2=\dfrac{\ln(2)}{\ln(a)}\).
Læg mærke til at vi er kommet frem til den samme formel, men da vi har valgt en vilkårlig \(x\)-værdi så afhænger \(T_2\) ikke af hvilket \(x_0\) vi har valgt. Det gælder derfor at konstanten \(T_2\) opfylder
\(f(x+T_2)=2\cdot f(x)\quad\forall\quad x\in Dm(f)\)
og at den netop kan bestemmes ved
\(T_2=\dfrac{\ln(2)}{\ln(a)}\).
\(\blacksquare\)
The distribution of bacterial doubling times in the wild. (Gibson et al., 2018) https://doi.org/10.1098/rspb.2018.0789 ↩