Når vi skal finde grændeværdier har vi en række regneregler som vi kan bruge til at evaluerer grænseværdien.
Herunder er der beskrevet 7 regler med eksempler.
1 lov: grænseværdien for en konstant
Hvis \(f(x)=k\), hvor \(k\) er en konstant så vil der gælde
\(\begin{align}\lim_{x \to a} f(x)&=\lim_{x \to a} k\\ &= k\end{align}\)
Eksempel
Find grænseværdien for funktionen \(f(x)=3\) når \(x\) går mod værdien 1
Løsning
Til at finde grænseværdien benyttes den første regel. Vi har derfor at
$\begin{align}\lim_{x \to 1} f(x) &= \lim_{x \to 1} 3 \\ &= 3\end{align}$
Grænseværdien er derfor 3.
2 lov: grænseværdien for x
Hvis \(f(x)=x\), så vil der gælde
\(\begin{align}\lim_{x \to a} f(x)&=\lim_{x \to a} x\\ &= a\end{align}\)
Eksempel
Find grænseværdien for funktionen \(f(x)=x\) når \(x\) går mod værdien 7
Løsning
Til at finde grænseværdien benyttes den anden regel. Vi har derfor at
\(\begin{align}\lim_{x \to 7} f(x) &= \lim_{x \to 7} x\\ &= 7\end{align}\)
Grænseværdien er derfor 7.
3 lov: grænseværdien for en funktion ganget med en konstant
Hvis \(g(x)=k\cdot f(x) \), hvor \(k\) er en konstant, så vil der gælde
\(\begin{align}\lim_{x \to a} g(x)&=\lim_{x \to a} k\cdot f(x)\\ &= k\cdot\lim_{x \to a} f(x)\end{align}\)
Eksempel
Find grænseværdien for funktionen \(f(x)=3\cdot x\) når \(x\) går mod værdien 2
Løsning
Til at finde grænseværdien benyttes den tredje og anden regel. Vi har derfor at
\(\begin{align}\lim_{x \to 2} f(x) &= \lim_{x \to 2} 3\cdot x\\ &= 3\cdot\lim_{x\to 2}x\\ &=3\cdot 2\\ &=6\end{align}\)
Grænseværdien er derfor 6.
4 lov: grænseværdien for en sum eller differens
Hvis begge af grænserne
\(\lim_{x \to a} f(x)= L\) og \(\lim_{x \to a} g(x)=M\)
eksistere, så vil der gælde
\(\begin{align}\lim_{x \to a} [g(x)\pm f(x)] &=\lim_{x \to a} g(x) \pm \lim_{x \to a} f(x)\\ &=L \pm M\end{align}\)
Grænseværdien for en sum er summen af grænseværdierne og grænseværdien for en differens er differensen af grænseværdierne.
Eksempel
Find grænseværdien for funktionen \(f(x)=x-1\) når \(x\) går mod værdien -2
Løsning
Til at finde grænseværdien benyttes den fjerde regel. Vi har derfor at
\(\begin{align}\lim_{x \to -2} f(x) &= \lim_{x \to -2} x-1\\ &= \lim_{x \to -2}x -\lim_{x \to -2}1\\ &=2-1\\ &=1\end{align}\)
Grænseværdien er derfor 1.
5 lov: grænseværdien for et produkt
Hvis \(f(x)=g(x)\cdot h(x)\), så vil der gælde
\(\begin{align}\lim_{x \to a} f(x)&=\lim_{x \to a} g(x)\cdot h(x)\\ &=\lim_{x\to a}g(x) \cdot \lim_{x\to a}h(x)\end{align}\)
Eksempel
Find grænseværdien for funktionen \(f(x)=x^2\) når \(x\) går mod værdien 3
Løsning
Til at finde grænseværdien benyttes den første regel. Vi har derfor at
\(\begin{align}\lim_{x \to 3} f(x) &= \lim_{x \to 3} x^2\\ &=\lim_{x \to 3} x\cdot x\\ &=\lim_{x \to 3} x \cdot \lim_{x \to 3}\\ x&=3\cdot 3\\ &=9 \end{align}\)
Grænseværdien er derfor 9.
6 lov: grænseværdien for en kvotient
Hvis \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\), så vil der gælde
\(\begin{align}\lim_{x \to a} f(x)&=\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)}\\ &=\frac{\lim_{x\to a}g(x)}{ \lim_{x\to a}h(x)}\end{align}\)
Eksempel
Find grænseværdien for funktionen \(f(x)=\frac{x}{x+2}\) når \(x\) går mod værdien -4
Løsning
Til at finde grænseværdien benyttes den første regel. Vi har derfor at
\(\begin{align}\lim_{x \to -4} f(x) &= \lim_{x \to -4} \frac{x}{x+2}\\ &= \frac{\lim_{x\to -4}x}{\lim_{x\to -4}x+2}\\ &=\frac{\lim_{x\to -4}x}{\lim_{x\to -4}x-\lim_{x\to -4}2}\\ &=\frac{-4}{-4+2}\\ &=\frac{-4}{-2}\\ &=2\end{align}\)
Grænseværdien er derfor 2.
7 lov: grænseværdi for n’te rødder
Hvis \(g(x)=\sqrt[n]{f(x)}\), så vil der gælde
\(\begin{align}\lim_{x\to a} g(x)&=\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)}\\ &=\sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}\end{align}\)
Eksempel
Find grænseværdien for funktionen \(f(x)=\sqrt{x}\) når \(x\) går mod værdien 25.
Løsning
Til at finde grænseværdien benyttes den første regel. Vi har derfor at
\(\begin{align}\lim_{x \to 25} f(x) &= \lim_{x \to 25} \sqrt{x}\\ &= \sqrt{\lim_{x\to 25}x}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5\end{align}\)
Grænseværdien er derfor 5.