Når vi grafisk skal analysere en differentialligning kan vi indtegne et linjefelt i et koordinatsystem, som viser hvorledes løsningerne til differentialligningen vil forløbe. Man kan se det lidt som på et linjefelt som de små metalspåner man kan sprede på en overflade og som vil indrette sig i forhold til det magnetiske felt således at man kan visualisere det.
Foto af Windell Oskay på flickr
Man kan godt forrestille sig hvorledes felterne går udfra hvordan metalspånerne ligger. På samme måde kan vi lave små metalspåner ud fra en differentialligning og derved dannet et billede af hvordan løsningen til differentiallignen ser ud visuelt. Men hvordan laver vi de små metalspåner?
En differentialligning indeholder en differentialkvotient. Vi kan huske fra differentialregningen at differentialkvotienten fortæller os hvad hældningen er på vores funktion. Men da hældningen på en given funktion godt kan ændre sig, det er faktisk det mest sandsynlige, så er differentialkvotienten en funktion, som beskriver hældningen til vores funktion baseret på x-værdien.
Det vil sige, at hvis vi havde differentialligningen \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\), hvilket er det samme som at skrive \(f’(x)=x\) eller bare \(y’=x\). Vi kan her se at til x-værdien 4 så vil hældningen være 4. Eller til x-værdien -1 er hældningen -1. Vi kan derfor til et vilkårligt punkt angive hvad hældningen på funktionen er i dette punkt.
Hvis vi igen prøver at se på differentialligningen \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\) så kan vi til et hvert punkt beregne hvad hældningen er. Således at til punktet (0, 0) er x-værdien 0 og derfor er hældningen 0. Til punktet (1, 0) er x-værdien 1 og derfor er hældningen 1. Og til punktet (-3, 4) er x-værdien -3 og derfor er hældningen -3. Hvis vi indtegner det for alle punkter vi kan se får vi noget som ser således ud.
Hvis man skulle komme med et bud på en funktion der følger disse strejer så ville det nok være en parabel. Hvis dette er dit bud, så har du ret. Det er nemlig en parabel og du kan faktisk godt eftervise at dette passer, men det vil jeg overlade til dig.
Vi kan også ud fra linjefeltet se at der er mange muligheder for at tegne en parabel som følger disse streger og du er sikkert ikke overrasket over at der er uendelig mange. Så hvis vi skal indtegne én, og kun én, løsningskurve så skal vi kende et punkt som den går igennem. Så længe at vi gør det så kan vi skitsere hvorledes en løsning kunne se ud.
Her under er der en video som du kan klikke dig igennem, hvor vi ser på en differentialligning, \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^2\), og hvorledes løsningskurven ser ud når den går igennem forskellige punkter.
Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/differentialligninger#h.p_NFrbmSvO7Ie6
Og linjefelter i Geogebra: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/differentialligninger#h.p_zCg7ckCr7qvJ
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|