Logistisk vækst – Henriksen

Vi har indtil videre set på eksponentiel vækst. Men denne type vækst har ikke et loft, dette er dog sjællent rigtigt i realiteten. Logistisk vækst er en vækst der er i starten er eksponentiel men så aftager indtil den når et stabil leje.

Differentialligningen for logistisk vækst kan se ud på forskellige måder, men en måde er

\(y’=k\cdot y\cdot (M-y)\)

Løsningen til denne differentialligning er

\(y(x)=\frac{M}{1+c\cdot\mathrm{e}^{-k\cdot M\cdot x}}\)

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/differentialligninger#h.p_PfQ9UNx191P0

og eksempler: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/differentialligninger#h.p_T8D0tBex14gF

samt udledning af formlen: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/differentialligninger#h.p_ITRGYPuy2M1G

Opgaver

Grøn	Gul	Rød
PM 543	matA3stx 5.79	matA3stx 5.84
matA3stx 5.77	matA3stx 5.80	matA3stx 5.87
matA3stx 5.78	matA3stx 5.81	matA3stx 5.90
PM 544	matAhtx 4.16	matA3stx 5.94
		matAhtx 4.14

\(y(x)={{3\over 2}\over 1+c\cdot\mathrm{e}^{-3\cdot x}}\)

\(y(x)={{3\over 2}\over 1+{1\over 2}\cdot\mathrm{e}^{-3\cdot x+3}}={1,5\over 1+10,0428\cdot\mathrm{e}^{-3\cdot x}}\)

\(y(x)={2\over 1+\mathrm{e}^{-2\cdot x}}\)

\(y(x)={3\over 1+{1\over 2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot x}}\)

\(y(x)={3\over 1+2\cdot\mathrm{e}^{-15\cdot x+15}}={3\over 1+6.538.034\cdot\mathrm{e}^{-15\cdot x}}\)

\(y(x)={4\over 1+{1\over 3}\cdot\mathrm{e}^{-16\cdot x+16}}={6\over 1+2.962.036\cdot\mathrm{e}^{-16\cdot x}}\)

\(y(x)={3\over 1+2\cdot\mathrm{e}^{-6\cdot x}}\)

\(y(x)=3\)

\(y(x)={3\over 1+{2\over 5}\cdot\mathrm{e}^{-6\cdot x}}\)

\(y(x)={2\over 1+c\cdot\mathrm{e}^{-8\cdot x}}\)

\(y(x)={2\over 1+3\cdot\mathrm{e}^{-8\cdot x}}\)

\(y(x)={2\over 1+\mathrm{e}^{-8\cdot x}}\)

\(y(x)={2\over 1+{1\over 3}\cdot\mathrm{e}^{-8\cdot x}}\)

\(y(x)={8\over 1+\mathrm{-8\cdot x}}\)

\(f(x)={{1\over 4}\over 1-{3\cdot\mathrm{e}\over 4}\mathrm{-x}}\)

\(g(x)={{1\over 4}\over 1-{3\over 4}\mathrm{-x}}\)

\(y(x)={2\over 1+2\cdot\mathrm{-10\cdot x}}\)

\(m=32850\)

\(P’=1.371\)