Planets ligning på normalform

Vi har set på hvorledes vi kan beskrive et plan i rummet ved hjælp af to vektorer og et punkt og derved opstille en parameterfremstilling.

Her ser vi på en anden måde at beskrive et plan ved hjælp af et punkt og en enkelt vektor som står normalt på planen.

Planets vektor på normalform er som følger

\(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\),

hvor a, b og c er henholdsvis x, y og z koordinaten for normalvektoren og d er bestemt af punktet i planen.

Link til bogen: https://mathtxa.systime.dk/?id=130

Opgaver til planets ligning på normalform

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_M_MJuqGXZ8MT

Grøn	Gul	Rød
Planens ligning 1
matAhtx 1.17

Planets ligning er \(6x-14y-12z-290=0\) og ingen af punkterne ligger i planet.

Det ses både at alle punkterne ikke ligger i planet. Det ses også at punktet \(P_0\) ligger i planet og det ser ud til at normalvektoren står vinkelret på planet.

Man kunne finde tre punkter der ligger i planen og ud fra dem finde to retningsvektorer. Hvis prikproduktet mellem hver af disse og normalvektoren er nul er normalvektoren vinkelret på begge vektorer og derved også på planet.

\(x+3y+4z-42=0\)

\(Q_z=\frac{49}{4}\)

Opgaver til planets ligning på normalform – et punkt i planet

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_8aCqn8gBlQa6

Grøn	Gul	Rød
Punkter i planen 1	matAhtx 1.18
PM4-492	matAhtx 1.22
matAhtx 1.19

Planets ligning er \(-10x+13y+6z+119=0\) og ingen af punkterne ligger i planet.

Punktet (5, 3, 4) ligger i planet.

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\\3\\4\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-5\\-3\\-0,429\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-13,33\\-3\\-4\end{pmatrix}\)

\(a\cdot\frac{-d}{a}+b\cdot 0+c\cdot 0+d=0\)

\(a\cdot 0+b\cdot \frac{-d}{a} +c\cdot 0+d=0\)

\(a\cdot 0+b\cdot 0+c\cdot \frac{-d}{a} +d=0\)

\(\{A_z=-\frac{1}{3}\)\)

\(\{B_y=-\frac{1}{4}\)\)

\(\{C_x=-\frac{1}{2}\)\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-\frac{1}{2}s\\-\frac{1}{4}t\\\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}t-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)

Punktet Q ligger i planet.

Punktet (40, 2, 9) ligger i planet.

Opgaver til planets ligning på normalform ud fra parameterfremstillingen

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_rdcOaXyvlRQN

Grøn	Gul	Rød
matAhtx 1.20	PM4-491
matAhtx 1.21	PM-495
PM4-493

\(-22x+52y-z-418=0\)

\(-22x+52y-z-163=0\)

19x+7y+22z-198=0

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-5\\5\\-5\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix}\)

10x+y-9z+15=0

BCGKF: \(y=0\)

ADHJE: \(y=14\)

ABFE: \(x=8\)

CDHG: \(x=0\)

ABCD: \(z=0\)

EFKJ: \(3x+4z-36=0\)

KJHG: \(-3x+4z-12=0\)