Vi skal her se lidt nærmere på rentefoden. I finansiel regning er der en del forskellige begreber der er knyttet til renten. Renten er den pengesum i kroner øre som man får ved at have pengene i banken, eller skal betale for at have et lån, og er bestemt af rentesatsen som angives i procent. Når vi dog skal udregne ved at benytte formlerne i finansielregning vil vi i stedet benytte rentefoden, $r$, som er rentesatsen divideret med 100%.
For eksempel, hvis vi har 1000 kr. i banken og får 5% i rente så vil rentesatsen være 5%, rentefoden vil være 0,05 og renten vil være 50 kr.
For rentesatsen knyttes der to begreber, pålydende rentesats (eller nominiel rentesats) og effektiv rentesats. Den pålydende rentesats er som oftes en årlig rente og forkortes p.a. hvilket står for pro anno (latin for pr. år). Hvis renten tilskrives månedlig skal vi for at kunne benytte vores formler finde denne rentesats. Dette gøres ved at dividere den pålydende rente med antallet af termintilskrivninger i løbet af et år.
Lad os sige at vi får en rente på 3% p.a. Så vil den månedlige rente vi skal benytte være
\(r=\dfrac{3\%}{12}=0,25\%\)
Man vil måske bemærke at hvis vi for tilskrevet 0,25% i rente pr. måned så vil der være rente på renterne. Det vil sige, at vi ville få mere tilskrevet i rente om året end de 3%. Den faktiske rente vi får tilskrevet pr. år kaldes den effektive rente og bestemmes i dette tilfælde som
\(i=(1+0,0025)^{12}=0,0304\)
Svarende til en rentesats på 3,04%.
Det vil sige, får man en årlig pålydende rente på 3%, men med månedlige rentetilskrivninger, så vil ens opsparing vokse med 3,04% om året.
Rentefodsbestemmelse
Når vi snakker kapitalfremskrivning kan det nogle gange være at vi kender hvad slutkapitalen, startkapitalen og antallet af terminer er, men ikke kender rentefoden, \(r\).
I sådanne tilfælde kan vi bestemme rentefoden ved at indsætte de givne oplysninger og isolere for \(r\). Lad os se på et eksempel
Vi for at vide at vi har 22,5 kr. at stå på en konto, hvor vi satte 10 kr. ind. Der er gået 2 terminer. Hvor stor er rentefoden?
Vi indsætter de kendte størrelser i formlen for kapitalfremskrivning.
\(\begin{align}K_n&=K_0\cdot(1+r)^n\\22,5&=10\cdot(1+r)^2\\\dfrac{22,5}{10}&=(1+r)^2\\2,25&=(1+r)^2\\\sqrt{2,5}&=\sqrt{(1+r)^2}\\1,5&=1+r\\1,5-1&=r\\r&=0,5\end{align}\)
Det vil sige at rentefoden er 0,5 svarende til en rentesats på 50% (det var selvfølgelig en matematisk bank, det eneste sted man kan få så høje renter).
For at vi ikke skal gøre dette hver eneste gang at vi skal bestemme rentefoden så tager vi og gør det algebraisk ved at isolere r i formlen for kapitalfremskrivning.
\(\begin{align}K_n&=K_0\cdot(1+r)^n\\\dfrac{K_n}{K_0}&=(1+r)^n\\\sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0}}&=\sqrt[n]{(1+r)^n}=1+r\\\sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0}}-1&=r\\r&=\sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0}}-1\end{align}\)
Vi har nu en formel hvor vi direkte kan indsætte vores oplysninger og så få beregnet rentefoden, uden vi skal igennem hele isoleringen.
Hvis vi ser på eksemplet fra før igen så har vi at
\(r=\sqrt[2]{\dfrac{22,5}{10}}-1=0,5\)
altså det samme, men nu skulle vi bare indtaste i en formel og udregne.
Formlen for rentefodsbestemmelse er derfor
\(r=\sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0}}-1\)
For at bestemme rentefoden skal vi kun kende start- og slutkapitalen sammen med antallet af terminer. Disse siger ikke noget om hvorledes renten har været over perioden, om det har været en fast rente eller om renten har varieret. Tilgengæld giver formlen én rentefod som svare til hvor meget rentesatsen skulle have været hvis der fast blev tilskrevet en rente.
**Billede af tre vækstfaser.**
Vi kunne her beregne hvor meget startkapitalen er vokset inden for den første periode, derefter hvad den så vokser i den anden periode og så til sidst hvor meget den er vokset i den sidste periode. Nu har vi så hvor meget startkapitalen samlet er vokset til og vi kan nu bruge formlen for rentefodsbestemmelse til at beregne den endelige gennemsnitlige rentefod. Dette virker dog som lidt meget arbejde og derfor ville vi gerne se om ikke vi kan finde en formel som kan beregne det for os.
Gennemsnitlig rentefod
Lad os starte med at se på et lidt mere simpelt eksempel.
Lad os se på at vi invistere 1 kr. over tre år. Det første år får vi 4% i rente, det andet år får vi 2% i rente og det sidste hele 7%. Hvad er den gennemsnitlige rente over de 3 år. Hvis vi starter med at beregne slutkapitalen.
Kapitalfremskrivningsformlen er
\(K_n=K_0\cdot (1+r)^n\)
hvor vi har
\(K_3=1\cdot(1+r)^3\)
men da renten er forskellig i de tre år ganges der med hver af de tre fremskrivningsfaktorer
\(K_3=1\cdot 1,04\cdot 1,02\cdot 1,07\)
Det vil sige, at
\((1+r)^3=1,04\cdot 1,02\cdot 1,07\)
For at isolere \(r\) tages først kubikroden på begge sider og så trækker vi én fra
\(\begin{align}1+r&=\sqrt[3]{1,04\cdot 1,02\cdot 1,07}\\r&=\sqrt[3]{1,04\cdot1,02\cdot 1,07}-1\\r&=0,043\end{align}\)
og vi kan se at rentesatsen er 4,3%.
Generelt kan vi skrive at den gennemsnitlige rente kan beregnes ved følgende formel
\(r=\sqrt[n]{(1+r_1)\cdot(1+r_2)\cdot(1+r_3)\cdot…\cdot(1+r_n)}-1\)
hvor \(r_i\) er rentefoden i den \(i\)’te termin \(i=1,2,3,…,n\), underordnet at den måtte være den samme i flere terminer.
Vi har at vi får tilskrevet renter i fem terminer hvor rentesatsen ændre sig. Vi starter med at få 2% de første to terminer, så ændres rentesatsen til 5% i den tredje termin og i de sidste to terminer er renten faldet til 4%. Hvad er den gennemsnitlige rentefod. Vi benytter formlen for den gennemsnitlige rentefod og får
\(r=\sqrt[5]{(1+0,02)\cdot1+0,02)\cdot1+0,05)\cdot1+0,04)\cdot1+0,04)}-1=0,0339\)
og den gennemsnitlige rentesats er derfor 3,39%
Formler
Til at bestemme rentefoden når vi kender start- og slutkapitalen samt antallet af terminer benyttes
\(r=\sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0}}-1\)
Til at bestemme den gennemsnitlige rentefod benyttes
\(r=\sqrt[n]{(1+r_1)\cdot(1+r_2)\cdot(1+r_3)\cdot…\cdot(1+r_n)}-1\)
hvor \(r_i\) er rentefoden i den \(i\)’te termin \(i=1,2,3,…,n\), underordnet at den måtte være den samme i flere terminer.
Til at bestemme dem effektive rentefod benyttes
\(i=(1+\frac{r}{n})^{n}\)
hvor \(r\) er den nominielle rentefod og \(n\) er antallet af rentetilskrivninger i løbet af et år.
Opgaver
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|