Når vi arbejder med logaritmer ser der en rækker grundlæggende regneregler som vi kan gøre brug af. Der er 6 regneregler vi kan benytte til at omskrive et udtryk.
Herunder er de 6 regler beskrevet med eksempler.
Vi starter med at se på identitetsreglen som ligger grundlaget for logaritmen.
Regel 1: identitetsreglen
Hvis vi skal tage logaritmen til en en værdi der er den samme som basen på logaritmen så vil dette altid give 1.
\(\log_b(b) =1\)
Dette skyldes at \(5^1=5\).
Denne fortæller os basalt set at hvis vi har en, at hvis vi allerede har basen så skal vi ikke gange den med sig selv igen da vi allerede har resultatet.
Regel 2 og 3 fortællers os hvorledes logaritmer opfører sig når vi skal tage logaritmen af et produkt (to tal ganget sammen) eller af en kvotient (brøk).
Regel 2: produktreglen
Hvis vi skal tage logaritmen til et produkt vil det svare til summen af logaritmen til de to faktorer.
\(\log_b(m\cdot n) = \log_b(m) + \log_b(n)\)
Eksempel
Hvis vi skal beregne 2 tals-logaritmen til 16 kan vi skrive det som \(16=2\cdot8\). Vi har derfor at
\(\begin{align}\log_2(16)&=\log_2(2\cdot 8)\\ &= \log_2(2) + \log_2(8)\\ &= 1+3\\&= 4\end{align}\)
Hvilken måske i dette eksempel nemt kunne ses at hvis vi skal gange 2 md sig selv et ukendt antal gange og få 16 så vil det være 4 gang vi skal gange 2 med sig selv.
Regel 3: kvotientreglen
Hvis vi skal tage logaritmen til et produkt vil det svare til differensen af logaritmen til de to faktorer.
\(\log_b(\frac{m}{n}) = \log_b(m) – \log_b(n)\)
Eksempel
Hvis vi skal beregne 2-tals-logaritmen til 0,25 kan vi skrive det som \(0,25=\frac{1}{4}\). Vi har derfor at
\(\begin{align}\log_2(0,25)&=\log_2(\frac{1}{4})\\ &= \log_2(1) + \log_2(4)\\ &= 0-2\\&= -2\end{align}\)
Her skal vi huske på at logaritmen til 1 altid er 0. Dette skyldes at hvis eksponenten er 0, det vil sig \(a^0\), så er det altid 1. Og da logaritmen spørger til potensen så er den nul.
Disse to regneregler bruges ikke så ofte, men kan ses en gang i mellem. De var specielt meget brugt den gang man ikke havde lommeregner. Så havde man en masse tabeller hvor der var regnet potenser ud og så kunne man benytte disse tabeller til at gange to tal sammen ved at omdanne dem til logaritme, ligge dem sammen, og derefter regne tilbage til potens. Det virker mere omstændigt og besværligt, men tro mig det var meget nemmere og hurtigere end at skulle gange ud i hånden på den lange måde.
Den 4 regel er nok den regl som oftes benyttes. Det gør os i stand til at få eksponenten i en potens ned så ledes at vi kan beregne finden den. Også selvom vi ikke direkte kan se hvad resultatet er intuitivt.
Regel 4: potensreglen
Hvis vi skal tage logaritmen til en potens, kan vi sætte eksponenten udenfor og gange med logaritmen til grundtallet.
\(\log_b(a^m) = m\cdot\log_b(a)\)
Eksempel
Hvis vi skal beregne 3-tals-logaritmen til 9 kan vi skrive det som \(9=3^2\). Vi har derfor at
\(\begin{align}\log_3(9)&=\log_3(3^2)\\ &= 2\cdot\log_3(3)\\ &= 2\cdot 1\\&= 2\end{align}\)
Dette kunne vi allerede regne ud fra starten, men denne regneregl kan hjælpe os i de tilfælde hvor det ikke er så nemt at se.
Denne regel kan også bruges til at forklare nogle af de andre regler, foreksempel regel 3 (kvotientreglen) eller den næste regl, inversreglen.
Inversreglen fortælles os den korteste vej til at finde eksponenten.
Regel 5: inverssreglen
Hvis vi skal tage logaritmen til en potens, hvor grundtallet og basen er ens så vil logaritmen give eksponenten
\(\log_b(b^m) = m\)
Eksempel
Hvis vi skal beregne 3-tals-logaritmen til 9 kan vi skrive det som \(9=3^2\). Vi har derfor at
\(\begin{align}\log_3(9)&=\log_3(3^2)\\ &= 2\cdot\log_3(3)\\ &= 2\cdot 1\\&= 2\end{align}\)
Dette kunne vi allerede regne ud fra starten, men denne regneregl kan hjælpe os i de tilfælde hvor det ikke er så nemt at se.
Den kan også forklares ud fra potensreglen og identitetsreglen.
Den sidste regel fortælles hvordan vi kan beregne et udtryk hvis vi vælger en anden base en den oplagte.
Regel 5: skift af base-formlen
Hvis vi skulle tage logaritmen med basen b, kunne være 2, til et tal, men kun har base 10 til rådighed så kan vi beregne den på denne måde
\(\log_b(m) = \frac{\log_k(m)}{\log_k(b)}\)
Eksempel 1
Hvis vi skal beregne 2-tals-logaritmen til 16 på en lommeregner, hvor vi kun har en knap der kan regne 10-tals-logaritmer må vi lave et skift af base
\(\begin{align}\log_2(16)&=\frac{\log_{10}(16)}{\log_{10}(2)}\\&=\frac{1,2041}{0,3010}\\&≈4\end{align}\)
Dette kunne vi allerede regne ud fra starten, men denne regneregl kan hjælpe os i de tilfælde hvor det ikke er så nemt at se.
Eksempel 2
Hvis vi skal beregne 9-talslogaritmen til 27 kan vi umiddelbart ikke som i eksemplet ovenover finde svaret. Så vi laver et base skift til base 3, da både 3 og 27 er en potens af 3.
\(\begin{align}\log_9(27)&=\frac{\log_{3}(27)}{\log_{3}(9)}\\&=\frac{3}{2}\\&1,5\end{align}\)
Vi kunne i første omgang ikke umiddelbart se at det skulle være 1,5, men skiftet i base gjorde at det var muligt at regne selv uden lommeregner.
Denne regel går at vi kan nøjes med en enkelt logaritme-tabel (knap på lommeregneren) og således stadigvæk kunne beregne logaritmen. Kan kan sige at der kun er en logaritme, da alle andre kan omdanne til denne ene. Af forskellige årsager er denne ene logaritme valget er faldet på den naturlige logaritme \(\ln\) som har basen \(e\). Der kan læses mere om konverteringen mellem logaritmer her.
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|