Vi har nu været igennem en masse forskellige logaritmefunktioner og vi vil her se på sammenhængen mellem de forskellige logaritmer.
Der findes en logaritme til hvert grundtal i en eksponentialfunktion, hvilket vil sige der er mange. Vi har nu med tilstedeværelsen af computeren of CAS-værktøjer ikke noget problem i at skulle bruge logaritmer med forskellige basetal, men det ville være dejligt, hvis vi kunne nøjes med en enkelt eller to af dem.
I gamle dage inden regnemaskibernes indtog var det næsten en nødvendighed fordi vi ellers skulle have en kæmpe tabel for hver at de mange logaritmer. Hvis man kunne nøjes med én logaritme så var der kun én tabel.
Men hvis vi skal kunne have kun én logaritme at arbejde med så bliver vi nød til at kunne omskrive én logaritme til en anden.
Lad os som eksempel så på to logaritmer nemlig ti-talslogaritmen og den naturlige logaritme. Vi kunne have valgt alle mulige andre men vi ser som eksempel på disse to og vil senere gøres vores observationer mere generelt.
På billedet herunder ses de to logaritmefunktioner indtegnet i et koordinatsystem.
Vi kan se at for x = 1 så skærer de hinanden. Ti-talslogaritmen er større end den naturlige logaritme når x er mindre end 1 og den er mindre end den naturlige logaritme når x er større end 1. Vi kunne derfor få tanken at hvis vi ganger vores ti-talslogaritme med et tal k så vil den blive til en naturlig logaritme.
På GIF’en herunder ses hvorledes vores ti-talslogaritme ændre sig når vi ganger den med et k som ligger mellem 1 og 3. Vi kan se at det på et tidspunkt er identisk med den naturlige logaritme. Lad os prøve at stoppe når de to logaritmefunktioner er ens.
Vi har at hvis vi ganger vores ti-talslogaritme med 2,303 så for vi åbenbart den naturlige logaritme. Spørgsmålet er bare hvor kommer de 2,303 fra? Uden vi har nogen anelse som hvor de kommer fra så lad os starte med et bud.
Det vil sige, at hvis vi skal finde den konstant der omdanner en ti-talslogaritme til den naturlige logaritme skal vi altså tage den logaritme vi vil omdanne til (i dette tilfælde den naturlige logaritme) til base for den vi vil omdanne fra (i dette tilfælde ti-talslogaritmen). Og vi har derfor at at de 2,303 svare til ln(10) – altså hvor mange gange skal e ganges med sig selv for at få 10.
Hvis vi skal omskrive ti-talslogaritmen til den naturlige logaritme har vi derfor at
\(\ln(x)=\log_{10}(x)\cdot\ln(10)\)
eller hvis vi samler ens logaritmer på samme side
\(\log_{10}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}\)
Sætning
Vi har derfor generelt at omskrivningen mellem en logaritme og en anden følger følgende lighed
\(\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)
Du kan herunder prøve et par omskrivninger.