Forskudt eksponentiel vækst

Vi har set, at løsningen til en differentialligning af typen \(y’=k\cdot y\) er \(y=c\cdot e^{k\cdot x}\). Vi skal her se på en næsten tilsvarende differentialligning, nemlig \(y’=a\cdot y + b\), og at løsningen til den er \(y=c\cdot e^{k\cdot x}-{b\over a}\).

Grøn	Gul	Rød
PM 540	VAAPS001	VAAPS003
	matA3stx 5.44	matA3stx 5.46
	matA3stx 5.45	matA3stx 5.47
	matA3stx 5.51	matA3stx 5.49

\(y=c\cdot\mathrm{e}^x+3\)

\(y(x)=-2\cdot\mathrm{e}^x+3\)

\(E(t)=c\cdot\mathrm{e}^{-k\cdot t}+E_{kin}\)

\(k=0,\! 0006\)

\(y(x)=6\cdot\mathrm{e}^{-5\cdot x}-3\)

\(y(x)={-3\over 4}\cdot\mathrm{e}^{2\cdot x}+{3\over 2}\)

\(y(x)=-1\)

\(y(x)=-4\cdot\mathrm{e}^{{1\over 2}\cdot x}+12\)

\(y(x)=-{9\over 4}\cdot\mathrm{e}^{-x}+4\)

\(y(x)={1\over 6}\cdot\mathrm{e}^{2\cdot x}+{1\over 2}\)

\(y(x)=-23\cdot\mathrm{e}^{{1\over 3}\cdot x}+27\)

\(y(x)=0,0183\cdot\mathrm{e}^{2\cdot x}+{1\over 2}\)

eller hvis man regner eksakt

\(y(x)=\mathrm{e}^{2\cdot x-4}+{1\over 2}\)

\(T’(t)=k\cdot (T_{max}-T(t))\)

\(T(t)=-c\cdot\mathrm{e}^{k\cdot t}+T_{max}\)

\(k=-0,\! 0212\)

\(f(x)=20,\!0855\cdot\mathrm{e}^{-3\cdot x}+4\)

\(g(x)=4\)

\(h(x)=-20,\!0855\cdot\mathrm{e}^{-3\cdot x}+4\)

eller hvis man regner eksakt

\(f(x)=\mathrm{e}^{-3\cdot x+3}+4\)

\(g(x)=4\)

\(h(x)=-\mathrm{e}^{-3\cdot x+3}+4\)

\(y(x)=-200\cdot\mathrm{e}^{0,\!01\cdot x}+400\)

\(f(x)=4\cdot\mathrm{e}^{x+2}-3\)

\(\lim_{x\to-\infty} 4\cdot\mathrm{e}^{x+2}-3=-3\), dvs., at når x går mod \(-\infty\) går funktionen \(f(x)\) mod værdien \(y=-3\), dvs en vandret linje gennem \(y=-3\).

\( \int_{-2}^{0} (4\cdot\mathrm{e}^{x+2}-3)-(4\cdot x+9) \,dx =4\cdot\mathrm{e}^2-20\approx 9,\! 556\)