Linjer i rummet – Henriksen

Vi skal se på linjens parameterfremstilling og hvorledes vi kan opstille den. For en linje i rummet skal vi kende et punkt den går i gennem og hvilken retning den går i. I planen kan denne retning gives ved en hældning, men for linjer i rummet er denne information ikke nok. Vi bliver nød til at beskrive dens retning ved hjælp af en vektor. Det går at en linje i rummet bliver beskrevet ved en dynamisk stedvektor der pejer så alle punkter på linjen baseret på en variabel, også kaldet for en parameter, og lad os benævne den \(t\). Man kan tænke på parameteren \(t\) som en tidspunkt, til hvilket stedvektoren pejer på et punkt på linjen.

Da vi fremstiller en linje i rummet baseret på en parameter, kaldes det for parameterfremstillingen for en linje, og den har formen

\(\begin{pmatrix}x\\y\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\x_0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}r_x\\r_y\\r_x\end{pmatrix}\),

hvor \(x_0\), \(y_0\) og \(z_0\) er koordinaterne for punktet linjen går igennem og \(r_x\), \(r_y\) og \(r_z\) er koordinaterne for retningsvektoren som beskriver retningen på linjen. \(x\), \(y\) og \(z\) er koordinaterne for punktet på linjen.

Link til bogen: https://mathtxa.systime.dk/?id=127

Linjens parameterfremstilling

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_PD4fZhGVd0vh

Grøn	Gul	Rød
matAhtx 1.5	matAhtx 1.6
PM4-482

\(\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}\)

\(P_0=(2, -4, 8)\)

\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\10\\8\end{pmatrix}\)

\(|\vec{AB}|=\sqrt{168}=12,96\)

For x-aksen er parameterfremstillingen

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\0\\0\end{pmatrix}\)

For y-aksen er parameterfremstillingen

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\t\\0\end{pmatrix}\)

For z-aksen er parameterfremstillingen

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\t\end{pmatrix}\)

t=-2

P = (0, -14, 0)

Skæringspunktet med xz-planet er P = (2,8; 0; 11,2)

Skæringspunktet med yz-planet er P = (0, -14, 0)

Linjens parameterfremstilling ud fra to punkter

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_VKfZGDt5uM0j

Grøn	Gul	Rød
PM4-484	matAhtx 1.7	matAhtx 1.10
PM4-483

A, B og C ligger på en ret linje.

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2t\\2-4t\\-4+9t\end{pmatrix}\) eller \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+2t\\-2-4t\\5+9t\end{pmatrix}\)

Skæringspunktet med xy-planet er (1,98; 0,22; 0).
Skæringspunktet med xy-planet er (2; 0; 0,5).
Skæringspunktet med xy-planet er (0; 4; -8,5).

Parameterfremstillingen for linjen m er

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-6t\\5+t\\9-t\end{pmatrix}\)

C er et punkt på linjen m.

Punktet D har koordinaterne (4, \(14\over 3\), \(28\over 3\)).

Linjens parameterfremstilling – punkt på linjen

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_L_1S4uhRrmOp

Grøn	Gul	Rød
VRLPPL001	VRLPPL003	VRLPPL004
VRLPPL002

Nej punktet ligger ikke på linjen.

Punktet ligger ikke på nogle af de to linjer.

To linjers skæring i rummet

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_Ny-rjRaAwxzD

Grøn	Gul	Rød
PM4-485
PM4-486
PM4-487

Da de to linjer er vindskæve har de ikke et skæringspunkt.