Planets parameterfremstilling

Vi ser her på parameterfremstillingen for et plan. Den minder meget om det vi har snakket om for linjens parameterfremstilling men med et ekstra led på.

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}r_{1x}\\r_{1y}\\r_{1z}\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}r_{2x}\\r_{2y}\\r_{2z}\end{pmatrix}\)

Vi skal derfor kende ét punkt men to retningsvektor. De to retningvektorer kan enten være opgivet, eller man kan beregne dem. Hvis vi skal regne os frem til dem skal vi som minimum kende tre punkter som ligger i planen.

Link til bogen: https://mathtxa.systime.dk/?id=128

Nedenstående er der opgaver som dækker parameterfremstillingen for et plan.

Opgaver til parameterfremstilling for et plan

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_dRAr5vBd8Kz-

Grøn	Gul	Rød
	matAhtx 1.12	VRPP001

Spidsen af pyramiden ligger lodret over centrum af grundfladen og har koordinaterne (2,5; 2,5; 9).

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2,5-2,5s+2,5t\\2,5-2,5s-2,5t\\9-9s-9t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2,5+2,5s+2,5t\\2,5-2,5s+2,5t\\9-9s-9t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2,5+2,5s-2,5t\\2,5+2,5s+2,5t\\9-9s-9t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2,5-2,5s-2,5t\\2,5+2,5s-2,5t\\9-9s-9t\end{pmatrix}\)

Da de to linjer skærer hinanden i punktet (1, 2, -3) ligger de to linjer i samme plan og derfor udspænder de to retningsvektorer planet og parameterfremstillingen for planet kan fx være

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+s+2t\\2+s+t\\-3+2s+t\end{pmatrix}\)

Opgaver til planets parameterfremstilling ud fra tre punkter

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p__yBOHA0i_EBN

Grøn	Gul	Rød
matAhtx 1.11	matAhtx 1.13	matAhtx 1.14
VRPPUTP001		VRPPUTP003
VRPPUTP002

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-s-7t+1\\s+3t+4\\11s+10t-8\end{pmatrix}\)

For parameterværdierne \(s=-2\) og \(t=-4\) findes koordinaterne til Q som ligger i planen \(\alpha\).

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2s\\4t\\2+s+0,5t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2s+2t\\0\\2+s-0,2t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2t\\0\\2+t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3t\\0\\7t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3t\\t\\5t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2t\\5t\\3,6t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3-6s-t\\s+5t\\7-2s-3,4t\end{pmatrix}\)

\(|\vec{OQ_1}|=\sqrt{58}=7,6158\)

\(|\vec{OQ_2}|=\sqrt{35}=5,9161\)

\(|\vec{OQ_3}|=\sqrt{58}=6,4777\)

Tyngdepunktets koordinater er (0,67; 2; 5,2)

Der er mange forskellige muligheder for at opstille ligningen for det samme plan ud fra de tre punkter. Den ene mulighed er

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+3s-2t\\2+3s-2t\\3+3s-t\end{pmatrix}\)

Der er mange forskellige muligheder for at opstille ligningen for det samme plan ud fra de tre punkter. Den ene mulighed er

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+s-2t\\1-2s+t\\1+2s-2t\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3+t+s\\-1-2t\\2t-3s\end{pmatrix}\)

Opgaver til planets parameterfremstilling – en linjes skærring med planet

Link til Stenners side: https://sites.google.com/view/stenners-matematik/vektorer-i-rummet#h.p_mjEOcWlB_N-2

Grøn	Gul	Rød
matAhtx 1.15	SMLP1	SMLP2

Koordinater for skærringspunktet er \(\begin{pmatrix}\frac{293}{18},\frac{1357}{36},\frac{325}{4}\end{pmatrix}=(16,2777; 37,6944; 81,25)\)

Der er ingen skæringspunkter.

Dette skyldes at planet og linjen er parallelle.

https://www.geogebra.org/calculator/tfstkmhu

Der er ingen skæringspunkter

Dette skyldes at planet og linjen er parallelle

https://www.geogebra.org/calculator/b2tb5gtr