Vi skal her se lidt på begrebet mængdelærer for at få en basisforståelse for matematisk notation og mængder.
Her er der to eksempler.
Lad os sige, at vi har følgende to mængder
\(M=\{2,4,6,8\}\)
\(N=\{4,8,10,12\}\)
- Find foreningsmængden af M og N.
- Find fællesmængden af M og N.
LØSNING
For at finde foreningsmængden skal vi finde den mængde vi for når vi forener de to mængder. Vi starter med at skrive alle elementerne op i en mængde
\(M\cup N= \{2,4,6,8,4,8,10,12\}\)
Herefter ordner vi mængden
\(M\cup N= \{2,4,4,6,8,8,10,12\}\)
Og så sletter vi de dupletter der er
\(M\cup N= \{2,4,{\color{red}\cancel{\color{black}4}},6,8,{\color{red}\cancel{\color{black}8}},10,12\}=\{2,4,6,8,10,12\}\)
For at finde fællesmængden skal vi finde de elementer som de to mængder har til fælles. Vi kunne fra det tidlige se at der var dupletter af 4 og 8 hvorved fællesmængden er
\(M\cap N=\{4,8\}\)
Dette forklare meget findt hvad foreningsmængden og fællesmængden er og hvorledes man finder dem. Men hvad så hvis man har flere?
Lad os sige, at vi har følgende to mængder
\(P=\{1,3,5,7,9\}\)
\(Q=\{3,6,9,12\}\)
\(R=\{5,9,13\}\)
- Find foreningsmængden af P, Q og R.
- Find fællesmængden af P, Q og R.
LØSNING
For at finde foreningsmængden skal vi finde den mængde vi for når vi forener de tre mængder. Lige som for eksemplet oven over starter vi med at skrive alle elementerne op i en mængde
\(P\cup Q\cup R= \{1,3,5,7,9,3,6,9,12,5,9,13\}\)
Herefter ordner vi mængden
\(P\cup Q\cup R= \{1,3,3,5,5,6,7,9,9,9,12,13\}\)
Og så sletter vi de dupletter der er
\(P\cup Q\cup R= \{1,3,{\color{red}\cancel{\color{black}3}},5,{\color{red}\cancel{\color{black}5}},6,7,9,{\color{red}\cancel{\color{black}9,9}},12,13\}\)
For at finde fællesmængden skal vi finde de elementer som de to mængder har til fælles. Vi kunne fra det tidlige se at der var dupletter af 4 og 8 hvorved fællesmængden er
\(P\cap Q\cup R=\{1,3,5,6,7,9,12,13\}\)
Vi kan igen de at der er nogle elementer som går igen i flere af mængderne P Q og R. Men det er kun 9 som er i alle og derved opstår tre gang når vi ordner mængden. Derfor er fællesmængden
\(P\cap Q\cap R=\{9\}\)
Når der er flere mængder er der også mulighed for at man finder fælles og foreningsmængderne en efter en, det vil sig i eksemplet med foreningsmængden ville man først finde \(P\cup Q\) og efter finde ud af hvad denne mængden bliver når den forenes med R.
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|