Når vi i matematikken snakker om en funktion så er det en relation der beskriver en sammenhæng mellem to størrelser. En uafhængige variabel vi som regel kalder for x og en afhængig variabel vi kalder for y.
Man kan tænke på en funktion som en maskine som tager en mængde af tal, x-værdierne, som input og oversætter dem til en ny mængde af tal, y-værdierne, som output.
Vi kalder x-værdierne for den uafhængige variabel da vi selv kan bestemme hvilke tal vi putter ind i maskinen, mens y-værdierne er afhængige af hvilken maskine vi vælger og vi bestemmer derfor ikke hvad der kommer ud.
For funktioner gælder der det specielle at vi til hver x-værdi vi putter ind i maskinen kun må have en og kun en unik y-værdi der kommer ud. Dette gælder ikke for alle relationer i matematikken er er specielle for funktioner.
Definition
En funktion beskriver en regel, hvor hver værdi af x knyttes sammen med præcis én værdi af y. Vi siger, at y afhænger entydigt af x, og skriver
\(y=f(x)\)
der læses som “y er funktionsværdien til x” eller blot “f af x”.
Når vi siger, at vi frit kan vælge hvilket x vi putter ind i maskinen så er det ikke helt korrekt. Det er rigtigt at vi frit kan vælge en x-værdi fra den talmængde vi kan putte ind i maskinen. Men er ikke nødvendigvis alle tal vi må putte ind i maskinen. Der kan være en begrænsning. Lige som der er en begrænsning på, hvilke tal vi kan få ud af maskinen. Det vil sige, at de to mængder ikke nødvendigvis indeholder alle reelle tal. De to mængder kalder vi for henholdsvis definitionsmængden, for alle de x-værdier vi kan sætte ind i funktionen, og værdimængden, for alle de y-værdier vi kan få ud af funktionen.
Definitionsmængde
Definitionsmængden er den mængde af tal som vi må sætte ind i funktionen. Ofte er er alle de reelle tal (som matematisk noteres som \(\mathbb{R}\)) som er alle de tal som I umiddelbart lige kan komme i tanke om på nuværrende tidspunkt. Vi betegner definitionsmængden som \(Dm\) og hvis det er definitionsmængden for en specifik funktion \(f(x)\) så skriver vi \(Dm(f)\). Definitionsmængden vil altid være skrevet op som en mængde, enten ved brug af symbolerne for mængder, så som naturlige tal (\(\mathbb{N}\)), hele tal (\(\mathbb{Z}\)), reelle tal (\(\mathbb{R}\)), eller ved brug af intervaller.
Der er dog nogle gange, hvor der er tal vi ikke må sætte ind i funktionen og der derfor er en begrænsning på definitionsmængden. For at se på dette vil vi lige se på et par eksempler.
Lad os se på fuktionen
\(f(x)=\frac{1}{x}\).
Her kan vi se at det giver et problem hvis \(x=0\) da vi så skal dividere med nul, hvilket vi ikke må. Derfor kan vi ikke sætte alle tal ind i funktionen. Vi kan sætte alle tal ind, på nær nul. Dette vil vi skrive som
\(Dm(f)=\mathbb{R}\backslash\{0\}\)
hvor den omvendte skråstreg (backslash) betyder “bortset fra” og derfor læses det som “definitionsmængden for funktionen f er alle reelle tal pånær nul”. Man ville også kunne påskrive definitionsmængden om et interval
\(Dm(f)=]-\infty,0[\cup]0,\infty[\)
hvor tegnet \(\cup\) betyder foreningsmængden (og skal forståes som at vi har både den ene mængde og den anden).
Til sidst ville man kunne se definitionsmængden være skrevet som
\(Dm(f)=\{x\in\mathbb{R}|x\neq 0\}\)
som læses “definitionsmængden af funktionen f er mængden af x som tilhører de reelle tal, hvor x ikke er nul”
Lad os se på et eksempel til. Hvis vi har funktionen
\(g(x)=\sqrt{x}\)
så kan vi se at vi ikke kan have at x er et negativt tal da vi ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Vi har derfor at definitionsmængden er
\(Dm(g)=\mathbb{R}_0\)
hvor \(\mathbb{R}_0\) angiver alle positive reelle tal inklusiv nul. Eller man kunne skrive det som et interval
\(Dm(g)=[0;\infty[\)
Hvis vi ser på en lineær funktion så som
\(h(x)=3x-7\)
så vil definitionsmængden være alle reelle tal da der ikke er nogle tal vi ikke på gange med 3 og bagefter trække 7 fra, vi har derfor at
\(Dm(h)=\mathbb{R}\).
Det betyder dog ikke at vi for en lineær funktion ikke kan have en begrænsning på definitionsmængden. Hvis vi har at den beskriver omsætningen på en vare så vil x-værdien være antallet af vare og da vi ikke kan have
Værdimængde
Hvor definitionsmængden er alle de tal vi må sætte ind i funktionen så er værdimængden alle de værdier vi kan få ud af en funktion. Vi betegner værdimængden som \(Vm\) og skriver \(Vm(f)\) for en specifik funktion.
Hvor vi for definitionsmængden kunne se på forskriften for funktionen og vurdere hvad definitionsmængden for funktionen er, så er det ofte nemmest at kigge på grafen for funktionen for at finde værdimængden. Det kan dog godt være nødvendigt at beregne for at få specifikke værdier, men det tages op når vi når til de givne funktioner.
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|