Når vi skal regne med logaritme er der nogle regneregler som er rare at kende. De er som følger

$$\log(a\cdot b) = \log(a) + \log(b)$$
$$\log (\dfrac{a}{b}) = \log(a)-\log(b)$$
$$\log(a^n) = n\cdot\log(a)$$

Vi kan se at logaritmen ikke har nogen base, og det er fordi at disse regneregler gælder uanset basen på logaritmen.

Hvis vi skal forklare hvorfor regnereglerne er som de er skal vi benytte potensregnereglen

$$a^n \cdot a^m = a^{n\cdot m}$$

samt at logaritme og sætte i potens udligner hinanden hvis basen og grundtallet er ens

$$\log_{10} (10^x)=x$$
$$10^{\log_{10}(x)}=x$$

Vi kan nu forklare den første logaritmeregneregel

$$\log_{10}(a\cdot b)=\log_{10}(10^{\log_{10}(a)}\cdot 10^{\log_{10}(b)}) \\= \log_{10}(10^{\log_{10}(a)+\log_{10}(b)})=\log_{10}(a)+\log_{10}(b)$$

Vi kan forklare den anden logaritmeregneregel på tilsvarende måde

$$\log_{10}(\dfrac{a}{b})=\log_{10}(\dfrac{10^{\log_{10}(a)}}{10^{\log_{10}(b)}})\\ =\log_{10}(10^{\log_{10}(a)-\log_{10}(b)}) = \log_{10}(a)-\log_{10}(b)$$

Hvis vi skal forklare den sidste kan vi benytte den første logaritme regneregel

$$\log_{10}(a^n)=\log_{10}(\underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{\text{n gange}})=\underbrace{\log_{10}(a)\cdot\ldots\cdot\log_{10}(a)}_{\text{n gange}}=n\cdot\log_{10}(a)$$

Til at forklare disse logaritmeregneregler er der benyttet log-10, men man kunne have gjort tilsvarende for andre logaritmer med en vilkårlig base.

Vi har derfor at logaritmeregnereglerne er som følger

$$\log_{b}(a\cdot b) = \log_{b}(a) + \log_{b}(b)$$
$$\log_{b}(\dfrac{a}{b}) = \log_{b}(a)-\log_{b}(b)$$
$$\log_{b}(a^n) = n\cdot \log_{b}(a)$$

Vi kan nu også vise at det er underordnet hvilken logaritme vi benytter for at løse en eksponentiel ligning. Lad os se på et eksempel

Vi skal løse ligningen

$$3\cdot 1,03^x=9$$

Vi starter med at reducere

$$1,03^x=\dfrac{9}{3}=3$$

her kunne vi tage logaritmen med basen $1,03$ men lad os tage titals-logaritmen

$$\log_{10}(1,03^x)=\log_{10}(3)$$

og her kan vi benytte vores tredje regneregel

$$x\cdot\log_{10}(1,03)=\log_{10}(3)$$
$$x=\dfrac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(1,03)}=\dfrac{0,477121}{0,012837}=37,167$$