En funktion er en operation der oversætter et sæt af tal (definitionsmængden, x-værdier, den uafhængige variabel) til et andet sæt af tal (værdimængden, y-værdier, den afhængige variabel). Du kan eventuelt læse mere om det her.
Men lad os lige kendkalde hvad vi allerede ved fra lineære funktioner. En lineær funktion har formen
\(y=f(x)=a\cdot x+b\)
og kunne for eksempel være
\(f(x)=2x+3\)
hvor \(a\) er hældningstallet (hvor meget går vi op/ned, når \(x\) øges med 1) i vores eksempel er det 2. Værdien af funktionen øges med 2 hvor gang vi øger \(x\) med 1. Værdien \(b\) kan vi huske er skæringen med \(y\)-aksen, man kunne også kalde den for begyndelsesværdien da det er den \(y\)-værdi funktionen har når \(x\) er nul.
For den lineære funktion er hældningstallet det man ville kalde en absolut tilvækst, da det er den samme tilvæst, den samme værdie der lægges til, uanset hvor henne på funktionen vi er. Dette er dog ikke altid tilfældet for alle situationer som vi gerne ville beskrive med en funktion. Lad os se på et eksempel.
Vi starter med et eksempel i biologiens verden. Celler kan dele sig således at én celle bliver til to.
For hver ny generation bliver antallet fordoblet, således at vi til at starte med har 1 celle og herefter får vi 2, så 4, herefter 8, 16 32 osv.
For hver generation ganges der med to. Så hvis vi starter med én celle så vil der efter én generation være \(1\cdot 2=2\) celler. Efter to generationer er der \(2\cdot2=4\) celler, efter tre generationer er der \(4\cdot2=8\) celler og efter fire generationer vil der være \(8\cdot2=16\) celler osv. Da generation to er to gange antallet i generation ét så kan vi skrive \(1\cdot2\cdot2=4\). For generation tre ville det blive \(1\cdot2\cdot2\cdot2=8\) og for generation fire \(1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=16\). Vi kan se at vi for antallet af celler i en generation ville kunne skrive det som
\(\text{antal celler i generation n}=1\cdot2^n\)
da vi ganger med 2 for hver generation og derfor kan skrive det som en potens.
En funktion hvor den uafhængige variabel stå i potens kaldes for en eksponentiel funktion og kan generelt skrives som
\(f(x)=b\cdot a^x\)
hvor b kaldes for begyndelsesværdien og er den y-værdi hvor funktionen skærer y-aksen, lige som vi kender det fra den lineære funktion.
Værdien a kaldes for fremskrivningsfaktoren og beskriver hvor meget en funktion vokser med når x øges med én.
For vores celledeling fordobles antallet af celler og derfor er fremskrivningsfaktoren 2. Men lad os se på et andet eksempel fra finansverdenen. Hvis vi sætter 100 kr. ind på en konto hvor vi får 10 % i rente (ja i matematikken har vi virkelig gode banker). Det vil sige at vi hvert år skal ligge 10 % til. Efter ét år har vi
\(100+\dfrac{100}{100}\cdot 10=110\)
efter to år vil vi have
\(110+\dfrac{110}{100}\cdot10=121\)
og efter tre år
\(121+\dfrac{121}{100}\cdot 10=133,1\)
Hvis vi ser på de tre udregninger kan vi se at
\(\begin{align*}100+\dfrac{100}{100}\cdot10&=100\cdot(1+\dfrac{1}{100}\cdot10)\\ &=100\cdot(1+0,1)\\ &=100\cdot1,1\\ &=110\end{align*}\)
\(\begin{align*}110+\dfrac{110}{100}\cdot10&=110\cdot(1+\dfrac{1}{100}\cdot10)\\ &=110\cdot(1+0,1)\\ &=110\cdot1,1\\ &=121\end{align*}\)
\(\begin{align*}121+\dfrac{121}{100}\cdot10&=121\cdot(1+\dfrac{1}{100}\cdot10)\\ &=121\cdot(1+0,1)\\ &=121\cdot1,1\\ &=133,1\end{align*}\)
Vi kan her se at for at ligge 10 % til skal vi gange med 1,1 og det skal vi gøre hvert år. Da
\(110=100\cdot1,1\)
kan vi erstatte de 110 i i udregningen for det andet år og får
\(100\cdot1,1\cdot1,1=100\cdot1,1^2=121\)
Vi kan derfor for det tredje år skrive
\(100\cdot1,1^3=133,1\)
Formlen for at udregne hvor mange penge vi har i et vilkårligt år bliver derfor
\(100\cdot1,1^x\)
hvor \(x\) er antallet af år der er gået, begyndelsesværdien er 100 og fremskrivningsfaktoren er 1,1 som kan beregnes ved hjælp af
\(a=1+r\)
hvor
\(r=\dfrac{\text{renten}}{100}\)
Den eksponentielle funktion har derfor forskriften
\(f(x)=b\cdot a^x\)
hvis fremskrivningsfaktoren er kendt eller
\(f(x)=b\cdot (1+r)^x\)
hvis vi kender den procentuelle tilvækst. Fremskrivningsfaktoren beskriver altså hvor meget funktionen vokser med hver gang \(x\) øges med 1 og beskriver derfor den relative tilvækst som er beskrevet med \(r\).
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|
\\(\bigcdot\\)