Nulpunkter for andengradspolynomium

Vi skal her så på hvorledes vi kan bestemme nulpunkter for andengradspolynomier. Nulpunkter (eller rødder) er der hvor andengradspolynomiet skærer x-aksen, det vil sige at vi skal undersøge hvornår $f(x)=0$.

Simple andengradsligninger af typen $f(x)=ax^2+c$

Vi starter med at se på den meste simple af andengradsfunktionerne nemlig $f(x)=x^2$. Hvis vi tegner den får vi følgende graf

Rendered by QuickLaTeX.com

Det ses her at toppunktet ligger på x-aksen placeret i (0,0). Hvis vi sætter funktionensværdien lig med nul for vi at

$f(x)=x^2=0$

Hvis vi skal løse denne får vi at

$\begin{align*}x^2&=0\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{0}\\x&=\pm 0\end{align*}$

Vi ser her at til x-værdien 0 er y-værdien 0, hvilket passer med at funktionen netop har toppunkt i (0,0).

Lad os se på et lidt mere generelt eksempel. Las os se på funktionen $f(x)=x^2-25$. Hvis vi ser på funktionen kan vi se at toppunktet ligger under x-aksen og da a er positiv er funktionen konveks og derfor vokser den på begge sider af toppunktet og derved vil den skærer x-aksen. Da toppunktet ligger på y-aksen og andengradsfunktionen er symmetrisk vil de to nulpunkter også ligge symmetrisk omkring y-aksen.

Rendered by QuickLaTeX.com

Hvis vi sætter funktionensværdien lig med nul for vi at

$f(x)=x^2-4=0$

Løsningen bliver derfor

$\begin{align*}x^2-4&=0\\x^2&=4\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{4}\\x&=\pm 2\end{align*}$

Vi ser her at til x-værdien 2 og -2 er y-værdien 0, hvilket passer med at funktionen netop har skærringspunkterne (-2,0) og (2,0).

Lad os se på et sidste eksempel. Lad andengradsfunktionen være

$f(x)=2x^2-18$

Hvis vi skal funde nulpunkter skal vi sætte funktionsværdien til nul.

$f(x)=2x^2-18=0$

Hvi har derved at

$\begin{align*}2x^2-18&=0\\2x^2&=18\\x^2&=\frac{18}{2}=9\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{9}\\x&=\pm 3\end{align*}$

Vi ser her at til x-værdien 3 og -3 er y-værdien 0, hvilket passer med at funktionens skærringspunkterne igen ligger symmetrisk omkring y-aksen og er (-3,0) og (3,0).

Generelt har vi at for denne type af ligninger på formen

$f(x)=ax^2+c$

Vil have løsningen

$\begin{align*}ax^2+c&=0\\ax^2&=-c\\x^2&=\frac{-c}{a}\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{\frac{-c}{a}}\\x&=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}\end{align*}$

Det kan også ses her at for at en funktion af denne type har en løsning skal koefficienterne a og c have modsat fortegn.

Andengradsfunktioner af typen $f(x)=ax^2+bx$

Vi har nu set på andengradsfunktioner hvor leddet bx manglede. Vi vil nu se på ligninger som har dette led men som ikke har konstantleddet c. Dette går at vi kun har to led og at x indgår i begge led hvilket går at vi kan løse dem på en anden måde. Lad os se på et eksempel

$f(x)=2x^2+6x$

For at finde nulpunkter skal vi løse ligningen

$2x^2+6x=0$

Til at løse denne kan vi benytte os af nulreglen. Den siger at hvis vi har et produkt som giver nul så kan en af faktorerne være nul. Matematisk vil vi skrive

$a\cdot b=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0$

I dette tilfælde har vi dog ikke et produkt men summen af to led (adskildt af +). Vi kan dog se at der i begge led indgår x, hvorfor vi kan sætte x uden for parentes. Hvis vi gør dette får vi følgende.

(1) $\begin{align*}2x^2+6x&=0\\2\cdot x\cdot x+6\cdot x&= 0\\x\cdot(2\cdot x\cdot{\color{red} \cancel{x}}+6\cdot{\color{red} \cancel{x}})&=0\\x\cdot(2x+6)&=0\end{align*}$

Vi har derfor via nulreglen at enten så er x=0 eller også så er 2x+6=0. Vi kan løse for det sidste udtryk og vi får at

$\begin{align*}2x+6&=0\\2x&=-6\\x&=\frac{-6}{2}=-3\end{align*}$

Vi har derfor at funktionen $f(x)=2x^2+6x$ har særringspunkterne (-3,0) og (0,0): Hvis vi tegner funktionen i et koordinatsystem kan vi også se at dette netop er skærringspunkterne.

Rendered by QuickLaTeX.com

Generelt vil der gælde at for en andengradsfunktion af typen $f(x)=ax^2+bx$ så vil løsningen være

$x=0 \lor x=\frac{-b}{a}$

Andengradsfunktioner af typen $f(x)=ax^2+ba+c$

Vi skal nu til at se på hvorledes vi kan finde nulpunkter for en general andengradsfunktion på formen $f(x)=ax^2+bx+c$. For de to foregående typer kunne vi isolere x relativt nemt. Dette kan dog ikke i dette tilfælde. Vi kan godt men det er lidt besværligt. Så vi er ikke interesseret i at skulle gøre dette hver gang. Derfor gøres det en gang med det generelle udtryk hvorved vi for en løsning for x udtrykt med koefficienterne a, b og c. Løsningen til ligningen

$ax^2+bx+c=0$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$, hvor $D=b^2-4ac$

Diskriminanten D giver os en mulighed for at undersøge om der er løsninger til den givne andengradsligning ved at vi i formlen skal tage kvadratroden af diskriminanten. Derved vil der ikke være nogle løsninger hvis diskriminanten er negativ da vi ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Hvis diskriminanten er nul vil der kun være én løsning da

$\sqrt{0}=0$

og vi skal så ligge 0 til og trække 0 fra hvilket er en og samme ting. Til gengæld hvis diskriminanten er positiv vil der være to løsninger.

Lad os se på et eksempel. Vi skal finde nulpunkter til funktionen

$f(x)=2x^2-3x+1$

For at finde nulpunkter skal vi sætte funktionsværdien til nul.

$2x^2-3x+1=0$

I dette tilfælde er a=2, b=-3 og c=1. Vi beregner først diskriminanten, D.

$D={-3}^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$

I dette tilfælde er diskriminanten positiv og derfor er der 2 løsninger. Vi indsætter de kendte værdier i formlen

$\begin{align*}x&=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2}\\ &=\frac{3\pm 1}{4}\\ &=\left\{\begin{array}{l}\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}=1\\\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=0,5\end{array}\end{align*}$

og derfor er nulpunkterne (0,5; 0) og (1;0).

Hvis vi igen prøver at tegne funktionen i et koordinatsystem og ser hvor den skærre x-aksen

Rendered by QuickLaTeX.com

Henriksen

Nulpunkter for andengradspolynomium

Simple andengradsligninger af typen \(f(x)=ax^2+c\)

Andengradsfunktioner af typen \(f(x)=ax^2+bx\)

Andengradsfunktioner af typen \(f(x)=ax^2+ba+c\)