Når man arbejder med fremtidsannuiteter har vi indtil videre set på hvor stor opsparingen, \(A_n\), bliver når vi indsætter en specifik ydelse på en konto til en specifik rentesats over en given periode. Men ofte ved vi hvor mange penge vi kan undvære, hvad rentesats vi kan få og hvor meget vi gerne vil spare op til og så er spørgsmålet
”Hvor længe skal jeg spare op for at nå mit mål?”
Her skal vi se op formlen for en fremtidsannuitet (opsparingsformlen) og isolere antallet af terminer, \(n\). Da \(n\) i opsparingsformlen står som en eksponent, kræver det brug af logaritmer for at få den isoleret.
Men inden vi ser på det så ser vi lidt på hvordan formlen ser ud og hvordan vi kan bruge den.
Formlen for at finde antallet af indbetalinger (\(n\)) er
\(n=\dfrac{\ln (\frac{A_n}{y}\cdot r+1)}{\ln (1+r)}\)
hvor \(n\) er antallet af terminer (eller ydelser), \(A_n\) er fremtidsværdien af annuiteten (det samlede beløb efter \(n\) indbetalinger), \(y\) er den faste ydelse og \(r\) er rentefoden pr. termin.
Lad os se op et eksempel.
Forstil dig, at du gerne vil opspare 250.000 kr. op. Du kan indbetale 2.000 kr. hver måned til en månedlig rentesats på 0,07%.
Vi indsætter nu i formlen
\(n=\dfrac{\ln(\frac{250.000}{2.000}\cdot0,0007+1)}{\ln (1+0,0007)}=\dfrac{\ln (1,0875)}{\ln(1,0007)}≈119,87\)
Du skal altså foretage 120 månedlige indbetalinger, for at have opsparet 250.000 kr., hvilket svare til 10 år.
Det er værd at bemærke at det ikke er nødvendigvis den naturlige logaritme (\(\ln\)) man skal bruge. Man kan lige så godt bruge titalslogaritmen (\(\log_{10}\)). Resultatet bliver det samme, så længde du benytter den samme type logaritme begge steder i formlen.
Man vil også typisk runde tallet op til nærmeste hele tal for at være sikker på at nå beløbet da man kun kan indbetale et helt antal gange.
Opgaver
| Grøn | Gul | Rød |
|---|---|---|
Bevis
Herunder er der en udledning af antallet af indbetalinger.