Vi har indtil videre haft om to forskellige funktioner. Nemlig lineære funktioner og eksponentielle funktioner. Vi skal nu se på andengradsfunktionen (aka andengradspolynomium aka parabel, kært barn har mange navne). 

Det kan være du allerede har hørt om den, og i det tilfælde så er dette blot et velkendt møde med en gammel ven. I tilfælde af at du ikke kender til funtionstypen så skal vi nu til at se på hvorledes sådanne en funktion nu ser ud.

Helt generelt vil vi skrive udtrykket for funktionen som \(f(x)=ax^2+bx+c\) hvor $a≠0$ da vi ellers ikke har et led hvor x-værdien er kvadreret og derved ikke har en andengradsfunktion men derimod den velkendte lineære funktion. 

Vi vil starte med at se på den mest simple af andengradsfunktionerne, nemlig $f(x)=x^2$. Hvis vi gerne vil finde ud af hvorledes den ser ud kan vi udregne nogle funktionsværdier (y-værdier) ved at udvælge nogle x-værdier. Hvis vi vælger de hele tal i intervaller $[-4,4]$ kan vi opstille følgende sildeben

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	16	9	4	1	0	1	4	9	16

Alle parabler er ens, man kunne sige at der kun er én sand parabel (men mere om det på et andet tidspunkt), selvom de ser forskellige ud. Hvorledes formen og hvor den ligger i koordinatsystemet styres af de tre koefficienter $a$, $b$ og $c$. Vi vil se på dem en efter en men lad os starte med $a$.

Koefficienten a’s betydning for formen

Koefficienten a ændre på formen af parablen. Men det er nemmest at se ved at se på nogle eksempler.

Lad os se på fire paraboler af formen $f(x)=ax^2$, hvor $a=\{3,1/3,-2,-1/4\}$. 

Her kan vi se at hvis a bliver større (:den blå graf) vil grafen blive smallere, men hvis a bliver mindre (den grønne graf) vil grafen blive bredere. For både den blå og den grønne graf er koefficienten positiv. Det ses her at grenene på kurven plejer opad. Man bruger ofter i folkeskolen at parablen er glad. I gymnasiet kan vi godt lide at bruge fagord og her siger vi at funktionen er konVeks. Her er det brugt et stort V da det minder om hvordan kurven ser ud og er kun didaktisk da det selvfølgelig skrives med småt. Hvis koefficienten derimod er negation som for den røde og orange kurve kan vi se at grenene peger nedad. Her bruger man ofte at parablen er sur, men her siger vi at funktionen er konkAv. Igen skrives det selvfølgelig med lille a og gøres for at huske på at for en konkav funktion peger grenene nedad.

Vi kan nu ændre på formen, men vil også gerne kunne flytte på den. Dette gøres med koefficienterne $b$ og $c$. Lad os starte med $c$ da den er den nemmeste af de to.

Koefficienten c’s betydning for placeringen

Koefficienten $c$ ligges til og ændre derfor på funktionsværderne og vil enten ligge noget til eller trække fra. Vi set at for værdierne $c=\{-5,-3,-1,1,3,5\}$. 

Det ses at koefficienten $c$ flytter funktionen op og ned, an på fortegnet. 

Så vi kan nu flytte funktionen op eller ned og gøre den bredere eller smallere med koefficienterne $a$ og $c$. Inden vi kigger på koefficienten $b$ ser vi først på hvorledes vi kan flytte funktionen til højre eller venstre.

Hvordan funktionen flyttes horisontalt

Vi har nu set hvorledes funktionen kan flyttes vertikalt, altså op og ned. Nu skal vi se hvorledes vi kan flytte funktionen til højre og venstre. For at flytte funktionen så symmetriaksen (skal huske at nævne tidligere om symmetriaksen for parablen) fx ligger ved $x=2$ skal vi egentlig spørge hvis jeg vælger en x-værdi på 2 men toppunktet skal ligge i $(2,0)$ hvad skal der stå på $x$ i funktionen. Vi ved at funktionsværdien skal være $0$ og vi har at vi vælger en x-værdi på $2$. Vi har derfor at 

$2+q‎ = 0$

hvilket giver at $q=-2$. Det vil sige, at hvis vi skriver

$f(x)=(x-2)^2$

så har vi flyttet funktionen så dens symmetriakse ligger ved $x=2$.

Generelt kan vi skrive at

$f(x)=(x+p)^2$

flytter funktionen ud til $-p$.

Vi kan omskrive dette udtryk, ved brug af en kvadratsætning.

$f(x)=x^2+2px+p^2$

Vi ville kunne se på denne som en andengradsfunktion hvor $b=2p$ og $p^2$ er $c$.

Hvis vi gerne vil have det på formen $f(x)=x^2 +bx$ så skal vi flytte $p^2$ over på den anden side. Så vi har at $f(x)-p^2=x^2+2px$ og derfor vil vi flytte parablen længere ned, hvis vi kun tilføjer et $bx$ til vores standard andengradsfunktion.